Kapitola 3 z 17

Jednokrokový model a replikácia

Prvý skutočný model oceňovania: portfólio, ktoré sa správa presne ako opcia, a preto musí stáť rovnako.

13 minút

Problém

Druhá kapitola ocenila forward bez jedinej pravdepodobnosti. Fungovalo to preto, že forward sa dal presne poskladať z akcie a pôžičky.

S opciou to na prvý pohľad nejde. Jej výplata je zalomená: v jednom scenári niečo vyplatí, v druhom nič. Ako oceniť niečo, čo raz vyplatí 40 € a inokedy nula?

Prvá myšlienka väčšiny ľudí je zobrať priemer. Ak akcia stúpne s pravdepodobnosťou 60 %, priemerná výplata je $0{,}6 \cdot 40 = 24$ €, a tú diskontujeme. Lenže akou sadzbou? Opcia je riskantnejšia než akcia, takže bezriziková sadzba nestačí. A o koľko viac? Na to by sme potrebovali vedieť, akú prémiu za riziko trh žiada, a to nikto nevie.

Táto kapitola ukáže, že celá otázka je zle položená. Cenu dostaneme bez pravdepodobnosti aj bez rizikovej prémie.

Model: dva stavy sveta

Zjednodušme svet na maximum. Dnes je čas 0, o jedno obdobie je čas 1. Akcia stojí $S_0$ a môže sa pohnúť len dvoma spôsobmi:

S_u = u\,S_0 \qquad\text{alebo}\qquad S_d = d\,S_0

kde $u > 1$ je rastový faktor a $d < 1$ klesajúci faktor. Popri akcii existuje bezrizikové aktívum: jedno euro dnes je $1+r$ eur o obdobie.

Symbol	Význam	Príklad
$S_0$	cena akcie dnes	200 €
$u$ , $d$	násobky pri raste a poklese	1,2 a 0,8
$r$	bezriziková sadzba za obdobie	4 %
$K$	realizačná cena opcie	200 €

Výplata opcie v tomto svete

Európska kúpna opcia s realizačnou cenou $K$ vyplatí:

C_u = \max(S_u - K,\,0) \qquad\text{a}\qquad C_d = \max(S_d - K,\,0)

Pri našich číslach: $S_u = 240$ €, $S_d = 160$ €, takže $C_u = 40$ € a $C_d = 0$ €.

Hľadáme $C_0$ , teda cenu dnes.

Replikácia

Tu je kľúčová myšlienka celej Časti II:

Ak dokážeme zložiť portfólio, ktoré má v každom budúcom stave rovnakú hodnotu ako opcia, potom musí mať aj dnes rovnakú cenu ako opcia.

Prečo? Lebo inak by existovala arbitráž z druhej kapitoly: kúpim lacnejšie z tej dvojice, predám drahšie, a keďže sa budúce hodnoty vyrušia, zostane mi istý zisk z ničoho.

Portfólio zložíme z dvoch vecí, ktoré na trhu existujú:

\Pi = \Delta\,S + B

kde $\Delta$ je počet akcií (môže byť aj zlomkový alebo záporný) a $B$ je suma uložená bezrizikovo (záporná znamená pôžičku).

Aby sa portfólio správalo ako opcia, musia platiť obe rovnice naraz:

\Delta\,S_u + B(1+r) = C_u

\Delta\,S_d + B(1+r) = C_d

Dve rovnice, dve neznáme. To je celá matematika tejto kapitoly.

Odvodenie hedžovacieho pomeru

Krok 1: odčítame rovnice.

Prečo práve to: člen $B(1+r)$ je v oboch rovnakých, takže odčítaním zmizne a zostane rovnica s jedinou neznámou.

\Delta\,S_u + B(1+r) - \left[\Delta\,S_d + B(1+r)\right] = C_u - C_d

Krok 2: hotovosť sa vyruší.

\Delta\,S_u - \Delta\,S_d = C_u - C_d

Krok 3: vyberieme $\Delta$ pred zátvorku.

\Delta\left(S_u - S_d\right) = C_u - C_d

Krok 4: vydelíme.

\boxed{\ \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}\ }

Delenie je legálne, lebo $S_u \ne S_d$ . Keby boli rovnaké, akcia by nebola riziková a nemali by sme dva stavy, ale jeden.

Ako tomu rozumieť

V čitateli je, o koľko sa zmení hodnota opcie medzi stavmi. V menovateli, o koľko sa zmení cena akcie. Delta je teda citlivosť opcie na pohyb akcie: koľko akcií treba držať, aby portfólio kopírovalo pohyb opcie.

Pri našich číslach:

\Delta = \frac{40 - 0}{240 - 160} = \frac{40}{80} = 0{,}5

Na replikáciu jednej opcie treba pol akcie. Toto je prvé stretnutie s delta hedgingom. V trinástej kapitole to bude každodenná práca market makera.

Odvodenie ceny

Krok 5: dosadíme $\Delta$ späť. Zoberme prvú rovnicu a osamostatnime $B$ :

B(1+r) = C_u - \Delta\,S_u \qquad\Longrightarrow\qquad B = \frac{C_u - \Delta\,S_u}{1+r}

Pri našich číslach:

B = \frac{40 - 0{,}5 \cdot 240}{1{,}04} = \frac{40 - 120}{1{,}04} = \frac{-80}{1{,}04} = -76{,}92\ \text{€}

Záporné $B$ znamená pôžičku: na kúpu pol akcie za 100 € si 76,92 € požičiavame.

Krok 6: cena je cena portfólia dnes.

\boxed{\ C_0 = \Delta\,S_0 + B\ }

C_0 = 0{,}5 \cdot 200 - 76{,}92 = 100 - 76{,}92 = 23{,}08\ \text{€}

Skúška

Portfólio musí v oboch stavoch dať to, čo opcia:

Stav	Akcie	Splátka pôžičky	Spolu	Opcia vyplatí
Rast	$0{,}5 \cdot 240 = 120$ €	$-76{,}92 \cdot 1{,}04 = -80$ €	40 €	40 €
Pokles	$0{,}5 \cdot 160 = 80$ €	$-80$ €	0 €	0 €

Sedí v oboch. Cena 23,08 € preto nie je odhad ani názor, je to cena stavebnice, z ktorej sa opcia dá poskladať.

Interaktívne: replikácia s vlastnými číslami

Posúvajte parametre a sledujte spodnú tabuľku: portfólio a opcia sa musia zhodovať v oboch stavoch vždy, nech nastavíte čokoľvek.

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,0 %15

Dva možné stavy

Stav	Cena akcie	Výplata opcie
Rast	240,00 €	40,00 €
Pokles	160,00 €	0,00 €

Odvodenie krok za krokom

Δ = (C_u − C_d) / (S_u − S_d) = (40 − 0) / (240 − 160) = 0,5
B = (C_u − Δ·S_u) / (1+r) = (40 − 0,5·240) / 1,04 = -76,92
C₀ = Δ·S₀ + B = 0,5·200 + (-76,92) = 23,08 €

Záporná hotovosť znamená, že si na nákup akcií požičiavate.

Hedžovací pomer Δ

0,5

Hotovosť B

-76,92 €

Cena opcie C₀

23,08 €

Kontrola: platí replikácia?

Stav	Portfólio vyplatí	Opcia vyplatí
Rast	40,00 €	40,00 €	sedí
Pokles	0,00 €	0,00 €	sedí

To isté cez riziko-neutrálnu mieru

q = (1,04 − 0,8) / (1,2 − 0,8) = 0,6

C₀ = [q·C_u + (1−q)·C_d] / (1+r) = 23,08 €

Čo vyskúšať:

Posuňte realizačnú cenu nad 240 €. Opcia nevyplatí v žiadnom stave, delta padne na nulu a cena tiež, lebo replikovať bezcenný nárok nestojí nič.
Prepnite na predajnú opciu. Delta zosilnie do zápornej a hotovosť do kladnej: put sa replikuje krátkym predajom akcie a uložením peňazí.
Zdvihnite sadzbu. Pôžička je drahšia, takže na tú istú výplatu treba dnes viac vlastných peňazí a kúpna opcia zdražie.

Bezarbitrážna podmienka

Model dáva zmysel len vtedy, keď platí:

d < 1 + r < u

Prečo: $1+r$ je to, čo dostanete bez rizika. Keby bolo $1+r \le d$ , akcia by v každom stave rástla aspoň tak rýchlo ako bezrizikové aktívum, pričom aspoň v jednom rýchlejšie. To je arbitráž: požičajte si a kúpte akciu.

Čo sa pokazí, keď podmienka neplatí

Akcia stojí 100 €, o rok bude 105 € alebo 98 €. Sadzba je 8 %, teda $1+r = 1{,}08$ .

Tu je $u = 1{,}05 < 1{,}08$ , takže podmienka neplatí: bezrizikové aktívum poráža akciu v oboch stavoch.

Arbitráž: predajte akciu nakrátko za 100 € a peniaze uložte. O rok máte 108 €, akciu kúpite späť najviac za 105 € a najmenej za 98 €. Zisk je istý, medzi 3 € a 10 €, bez akéhokoľvek vkladu.

Model by to prezradil aj sám: v štvrtej kapitole uvidíte, že váha $q$ by vyšla nad jednotku, čo nie je pravdepodobnosť žiadnej udalosti.

Dve konvencie úročenia

V tejto časti kurzu píšeme rast bezrizikového aktíva ako $1+r$ za jedno obdobie, lebo tak sa dvoj- a trojkrokové stromy počítajú na papieri.

Od siedmej kapitoly, kde kroky začnú byť nekonečne krátke, sa prejde na spojité úročenie $e^{r\Delta t}$ . Je to tá istá vec v inom zápise; pre malé $r\Delta t$ platí $e^{r\Delta t} \approx 1 + r\Delta t$ . Kalkulačka binomického modelu používa spojitú konvenciu, takže jej čísla sa od tunajších líšia v druhom desatinnom mieste.

Interaktívne: strom a jeho ocenenie

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,0 %15

Počet krokov

115

Cena opcie dnes: 23,08 €
Delta v čase 0: 0,5
Riziko-neutrálna pravdepodobnosť q: 60,00 %

Uzly binomického stromu
Krok	Počet rastov	Cena akcie	Hodnota opcie
0	0	200,00 €	23,08 €
1	0	160,00 €	0,00 €
1	1	240,00 €	40,00 €

Horné číslo v uzle je cena akcie, spodné hodnota opcie. Zatiaľ ide o jeden krok; piata kapitola pridá ďalšie a algoritmus sa len zopakuje.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: čomu delta zodpovedá

Opcia má v hornom stave hodnotu 30 €, v dolnom 6 €. Akcia je v hornom stave na 180 € a v dolnom na 120 €.

Aká je delta? A koľko akcií treba na replikáciu desiatich opcií?

Delta

Akcií na 10 opcií

Cvičenie

Quick check: bezarbitrážna podmienka

Akcia sa za obdobie buď vynásobí 1,15, alebo 0,90. Bezriziková sadzba je 5 %.

Je model bezarbitrážny? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie. A aká je najvyššia sadzba, pri ktorej by ešte bol?

Bezarbitrážny (1 = áno, 0 = nie)

Najvyššia možná sadzba

Cvičenie

Replikácia od začiatku do konca

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 130 € alebo 80 €. Sadzba je 5 %. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

Spočítajte výplaty, deltu, hotovosť a cenu opcie.

Výplata pri raste C_u

€

Delta

Hotovosť B

€

Cena opcie C₀

€

Cvičenie

Predajná opcia

Rovnaké zadanie (akcia 100 €, stavy 130 a 80 €, sadzba 5 %), ale teraz predajná opcia s realizačnou cenou 100 €.

Delta

Cena predajnej opcie

€

Cvičenie

Zaistenie vypísanej opcie

Vypísali ste (predali) 100 kúpnych opcií z predchádzajúcej úlohy a inkasovali za ne 1 429 €.

Koľko akcií musíte kúpiť, aby ste boli zaistení? Koľko vás tie akcie stoja a koľko si na ne musíte požičať?

Počet akcií

Cena akcií

€

Potrebná pôžička

€

Cvičenie

Challenge: je opcia na trhu správne ocenená?

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 120 € alebo 90 €. Bezriziková sadzba je 5 %. Trh kótuje kúpnu opciu s realizačnou cenou 100 € na 10,00 €.

Spočítajte modelovú cenu a rozhodnite, čo s tým. Koľko zarobíte na jednej opcii?

Delta

Modelová cena opcie

€

Bezrizikový zisk na opciu

€

Čo si zapamätať

Replikácia je jadro celej Časti II. Ak sa derivát dá poskladať z obchodovateľných aktív, jeho cena je cena tej stavebnice. Inak vzniká arbitráž.
Delta je pomer zmien, $\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}$ , a hovorí, koľko akcií treba držať na replikáciu jednej opcie.
Hotovostná zložka $B = \frac{C_u - \Delta S_u}{1+r}$ býva pri kúpnej opcii záporná: replikácia znamená kúpiť akcie na dlh.
Cena je cena portfólia dnes: $C_0 = \Delta S_0 + B$ .
Vo výpočte nie je žiadna pravdepodobnosť. Dvaja ľudia s opačným názorom na budúcnosť dostanú tú istú cenu.
Model musí spĺňať $d < 1+r < u$ , inak jedna vetva dominuje bezrizikovému aktívu a arbitráž existuje.
Zaistený vypisovateľ nemá riziko ani zisk: zarába len na rozdiele medzi predajnou a replikačnou cenou.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Kapitola 3 z 17

Jednokrokový model a replikácia

Prvý skutočný model oceňovania: portfólio, ktoré sa správa presne ako opcia, a preto musí stáť rovnako.

13 minút

Problém

Druhá kapitola ocenila forward bez jedinej pravdepodobnosti. Fungovalo to preto, že forward sa dal presne poskladať z akcie a pôžičky.

S opciou to na prvý pohľad nejde. Jej výplata je zalomená: v jednom scenári niečo vyplatí, v druhom nič. Ako oceniť niečo, čo raz vyplatí 40 € a inokedy nula?

Táto kapitola ukáže, že celá otázka je zle položená. Cenu dostaneme bez pravdepodobnosti aj bez rizikovej prémie.

Model: dva stavy sveta

Zjednodušme svet na maximum. Dnes je čas 0, o jedno obdobie je čas 1. Akcia stojí $S_0$ a môže sa pohnúť len dvoma spôsobmi:

S_u = u\,S_0 \qquad\text{alebo}\qquad S_d = d\,S_0

kde $u > 1$ je rastový faktor a $d < 1$ klesajúci faktor. Popri akcii existuje bezrizikové aktívum: jedno euro dnes je $1+r$ eur o obdobie.

Symbol	Význam	Príklad
$S_0$	cena akcie dnes	200 €
$u$ , $d$	násobky pri raste a poklese	1,2 a 0,8
$r$	bezriziková sadzba za obdobie	4 %
$K$	realizačná cena opcie	200 €

Výplata opcie v tomto svete

Európska kúpna opcia s realizačnou cenou $K$ vyplatí:

C_u = \max(S_u - K,\,0) \qquad\text{a}\qquad C_d = \max(S_d - K,\,0)

Pri našich číslach: $S_u = 240$ €, $S_d = 160$ €, takže $C_u = 40$ € a $C_d = 0$ €.

Hľadáme $C_0$ , teda cenu dnes.

Replikácia

Tu je kľúčová myšlienka celej Časti II:

Ak dokážeme zložiť portfólio, ktoré má v každom budúcom stave rovnakú hodnotu ako opcia, potom musí mať aj dnes rovnakú cenu ako opcia.

Prečo? Lebo inak by existovala arbitráž z druhej kapitoly: kúpim lacnejšie z tej dvojice, predám drahšie, a keďže sa budúce hodnoty vyrušia, zostane mi istý zisk z ničoho.

Portfólio zložíme z dvoch vecí, ktoré na trhu existujú:

\Pi = \Delta\,S + B

kde $\Delta$ je počet akcií (môže byť aj zlomkový alebo záporný) a $B$ je suma uložená bezrizikovo (záporná znamená pôžičku).

Aby sa portfólio správalo ako opcia, musia platiť obe rovnice naraz:

\Delta\,S_u + B(1+r) = C_u

\Delta\,S_d + B(1+r) = C_d

Dve rovnice, dve neznáme. To je celá matematika tejto kapitoly.

Odvodenie hedžovacieho pomeru

Krok 1: odčítame rovnice.

Prečo práve to: člen $B(1+r)$ je v oboch rovnakých, takže odčítaním zmizne a zostane rovnica s jedinou neznámou.

\Delta\,S_u + B(1+r) - \left[\Delta\,S_d + B(1+r)\right] = C_u - C_d

Krok 2: hotovosť sa vyruší.

\Delta\,S_u - \Delta\,S_d = C_u - C_d

Krok 3: vyberieme $\Delta$ pred zátvorku.

\Delta\left(S_u - S_d\right) = C_u - C_d

Krok 4: vydelíme.

\boxed{\ \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}\ }

Delenie je legálne, lebo $S_u \ne S_d$ . Keby boli rovnaké, akcia by nebola riziková a nemali by sme dva stavy, ale jeden.

Ako tomu rozumieť

Pri našich číslach:

\Delta = \frac{40 - 0}{240 - 160} = \frac{40}{80} = 0{,}5

Na replikáciu jednej opcie treba pol akcie. Toto je prvé stretnutie s delta hedgingom. V trinástej kapitole to bude každodenná práca market makera.

Odvodenie ceny

Krok 5: dosadíme $\Delta$ späť. Zoberme prvú rovnicu a osamostatnime $B$ :

B(1+r) = C_u - \Delta\,S_u \qquad\Longrightarrow\qquad B = \frac{C_u - \Delta\,S_u}{1+r}

Pri našich číslach:

B = \frac{40 - 0{,}5 \cdot 240}{1{,}04} = \frac{40 - 120}{1{,}04} = \frac{-80}{1{,}04} = -76{,}92\ \text{€}

Záporné $B$ znamená pôžičku: na kúpu pol akcie za 100 € si 76,92 € požičiavame.

Krok 6: cena je cena portfólia dnes.

\boxed{\ C_0 = \Delta\,S_0 + B\ }

C_0 = 0{,}5 \cdot 200 - 76{,}92 = 100 - 76{,}92 = 23{,}08\ \text{€}

Skúška

Portfólio musí v oboch stavoch dať to, čo opcia:

Stav	Akcie	Splátka pôžičky	Spolu	Opcia vyplatí
Rast	$0{,}5 \cdot 240 = 120$ €	$-76{,}92 \cdot 1{,}04 = -80$ €	40 €	40 €
Pokles	$0{,}5 \cdot 160 = 80$ €	$-80$ €	0 €	0 €

Sedí v oboch. Cena 23,08 € preto nie je odhad ani názor, je to cena stavebnice, z ktorej sa opcia dá poskladať.

Interaktívne: replikácia s vlastnými číslami

Posúvajte parametre a sledujte spodnú tabuľku: portfólio a opcia sa musia zhodovať v oboch stavoch vždy, nech nastavíte čokoľvek.

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,0 %15

Dva možné stavy

Stav	Cena akcie	Výplata opcie
Rast	240,00 €	40,00 €
Pokles	160,00 €	0,00 €

Odvodenie krok za krokom

Δ = (C_u − C_d) / (S_u − S_d) = (40 − 0) / (240 − 160) = 0,5
B = (C_u − Δ·S_u) / (1+r) = (40 − 0,5·240) / 1,04 = -76,92
C₀ = Δ·S₀ + B = 0,5·200 + (-76,92) = 23,08 €

Záporná hotovosť znamená, že si na nákup akcií požičiavate.

Hedžovací pomer Δ

0,5

Hotovosť B

-76,92 €

Cena opcie C₀

23,08 €

Kontrola: platí replikácia?

Stav	Portfólio vyplatí	Opcia vyplatí
Rast	40,00 €	40,00 €	sedí
Pokles	0,00 €	0,00 €	sedí

To isté cez riziko-neutrálnu mieru

q = (1,04 − 0,8) / (1,2 − 0,8) = 0,6

C₀ = [q·C_u + (1−q)·C_d] / (1+r) = 23,08 €

Čo vyskúšať:

Posuňte realizačnú cenu nad 240 €. Opcia nevyplatí v žiadnom stave, delta padne na nulu a cena tiež, lebo replikovať bezcenný nárok nestojí nič.
Prepnite na predajnú opciu. Delta zosilnie do zápornej a hotovosť do kladnej: put sa replikuje krátkym predajom akcie a uložením peňazí.
Zdvihnite sadzbu. Pôžička je drahšia, takže na tú istú výplatu treba dnes viac vlastných peňazí a kúpna opcia zdražie.

Bezarbitrážna podmienka

Model dáva zmysel len vtedy, keď platí:

d < 1 + r < u

Čo sa pokazí, keď podmienka neplatí

Akcia stojí 100 €, o rok bude 105 € alebo 98 €. Sadzba je 8 %, teda $1+r = 1{,}08$ .

Tu je $u = 1{,}05 < 1{,}08$ , takže podmienka neplatí: bezrizikové aktívum poráža akciu v oboch stavoch.

Model by to prezradil aj sám: v štvrtej kapitole uvidíte, že váha $q$ by vyšla nad jednotku, čo nie je pravdepodobnosť žiadnej udalosti.

Dve konvencie úročenia

V tejto časti kurzu píšeme rast bezrizikového aktíva ako $1+r$ za jedno obdobie, lebo tak sa dvoj- a trojkrokové stromy počítajú na papieri.

Interaktívne: strom a jeho ocenenie

Typ opcie

Kúpna (call)

Predajná (put)

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,0 %15

Počet krokov

115

Cena opcie dnes: 23,08 €
Delta v čase 0: 0,5
Riziko-neutrálna pravdepodobnosť q: 60,00 %

Uzly binomického stromu
Krok	Počet rastov	Cena akcie	Hodnota opcie
0	0	200,00 €	23,08 €
1	0	160,00 €	0,00 €
1	1	240,00 €	40,00 €

Horné číslo v uzle je cena akcie, spodné hodnota opcie. Zatiaľ ide o jeden krok; piata kapitola pridá ďalšie a algoritmus sa len zopakuje.

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: čomu delta zodpovedá

Opcia má v hornom stave hodnotu 30 €, v dolnom 6 €. Akcia je v hornom stave na 180 € a v dolnom na 120 €.

Aká je delta? A koľko akcií treba na replikáciu desiatich opcií?

Delta

Akcií na 10 opcií

Cvičenie

Quick check: bezarbitrážna podmienka

Akcia sa za obdobie buď vynásobí 1,15, alebo 0,90. Bezriziková sadzba je 5 %.

Je model bezarbitrážny? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie. A aká je najvyššia sadzba, pri ktorej by ešte bol?

Bezarbitrážny (1 = áno, 0 = nie)

Najvyššia možná sadzba

Cvičenie

Replikácia od začiatku do konca

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 130 € alebo 80 €. Sadzba je 5 %. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

Spočítajte výplaty, deltu, hotovosť a cenu opcie.

Výplata pri raste C_u

€

Delta

Hotovosť B

€

Cena opcie C₀

€

Cvičenie

Predajná opcia

Rovnaké zadanie (akcia 100 €, stavy 130 a 80 €, sadzba 5 %), ale teraz predajná opcia s realizačnou cenou 100 €.

Delta

Cena predajnej opcie

€

Cvičenie

Zaistenie vypísanej opcie

Vypísali ste (predali) 100 kúpnych opcií z predchádzajúcej úlohy a inkasovali za ne 1 429 €.

Koľko akcií musíte kúpiť, aby ste boli zaistení? Koľko vás tie akcie stoja a koľko si na ne musíte požičať?

Počet akcií

Cena akcií

€

Potrebná pôžička

€

Cvičenie

Challenge: je opcia na trhu správne ocenená?

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 120 € alebo 90 €. Bezriziková sadzba je 5 %. Trh kótuje kúpnu opciu s realizačnou cenou 100 € na 10,00 €.

Spočítajte modelovú cenu a rozhodnite, čo s tým. Koľko zarobíte na jednej opcii?

Delta

Modelová cena opcie

€

Bezrizikový zisk na opciu

€

Čo si zapamätať

Replikácia je jadro celej Časti II. Ak sa derivát dá poskladať z obchodovateľných aktív, jeho cena je cena tej stavebnice. Inak vzniká arbitráž.
Delta je pomer zmien, $\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}$ , a hovorí, koľko akcií treba držať na replikáciu jednej opcie.
Hotovostná zložka $B = \frac{C_u - \Delta S_u}{1+r}$ býva pri kúpnej opcii záporná: replikácia znamená kúpiť akcie na dlh.
Cena je cena portfólia dnes: $C_0 = \Delta S_0 + B$ .
Vo výpočte nie je žiadna pravdepodobnosť. Dvaja ľudia s opačným názorom na budúcnosť dostanú tú istú cenu.
Model musí spĺňať $d < 1+r < u$ , inak jedna vetva dominuje bezrizikovému aktívu a arbitráž existuje.
Zaistený vypisovateľ nemá riziko ani zisk: zarába len na rozdiele medzi predajnou a replikačnou cenou.

Kapitoly

← Prehľad kurzu