Kapitola 4 z 17

Riziko-neutrálna miera

Váha, ktorá vyzerá ako pravdepodobnosť, ale nie je predpoveďou ničoho, a prečo dáva tú istú cenu ako replikácia.

11 minút

Problém

Tretia kapitola opciu ocenila, ale postup bol zdĺhavý: pre každý derivát treba vyriešiť sústavu dvoch rovníc a zložiť portfólio. Pri stromoch s desiatkami uzlov by to bolo neúnosné.

A je tu druhá, hlbšia otázka.

Predstavte si dvoch investorov nad tou istou akciou. Jana si myslí, že pravdepodobnosť rastu je 70 %. Peter, s rovnakými dátami a iným úsudkom, tvrdí 40 %.

Ich odhady očakávanej výplaty opcie sa zásadne líšia:

	Jana ( $p = 0{,}7$ )	Peter ( $p = 0{,}4$ )
Očakávaná výplata	$0{,}7 \cdot 40 = 28$ €	$0{,}4 \cdot 40 = 16$ €

Napriek tomu obaja vidia na burze jednu cenu, a v tretej kapitole sme ju spočítali na 23,08 € bez toho, aby sme sa niekoho pýtali na názor.

Ako je to možné? A dá sa to počítanie skrátiť?

Dve miery

Fyzická (skutočná) miera P: Pravdepodobnosti, s ktorými sa veci naozaj dejú, alebo aspoň to, čo si o nich myslíme. Odhadujú sa z dát alebo z úsudku a dvaja ľudia sa na nich nemusia zhodnúť.

Riziko-neutrálna miera Q: Umelé váhy, pri ktorých každé aktívum v priemere rastie bezrizikovou sadzbou. Nie sú predpoveďou; sú nástrojom na oceňovanie, ktorý je konzistentný s bezarbitrážnym princípom.

Odvodenie váhy q

Hľadáme číslo $q$ také, aby akcia pod ním v priemere rástla presne bezrizikovou sadzbou. Formálne:

\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = S_0(1+r)

Krok 1: rozpíšeme strednú hodnotu. Akcia môže skončiť na dvoch miestach, tak stredná hodnota je vážený priemer:

q\,S_u + (1-q)\,S_d = S_0(1+r)

Krok 2: dosadíme $S_u = uS_0$ a $S_d = dS_0$ .

q\,uS_0 + (1-q)\,dS_0 = S_0(1+r)

Krok 3: vydelíme $S_0$ . Smieme, lebo cena akcie je kladná, a všimnite si, čo to znamená: $q$ nezávisí od ceny akcie, len od faktorov a sadzby.

qu + (1-q)d = 1+r

Krok 4: roznásobíme a zoskupíme členy s $q$ .

qu + d - qd = 1+r \qquad\Longrightarrow\qquad q(u - d) = 1 + r - d

Krok 5: vydelíme $(u-d)$ , čo je nenulové, lebo stavy sú dva rôzne:

\boxed{\ q = \frac{(1+r) - d}{u - d}\ }

Pri našich číslach ( $u = 1{,}2$ , $d = 0{,}8$ , $r = 4\ \%$ ):

q = \frac{1{,}04 - 0{,}8}{1{,}2 - 0{,}8} = \frac{0{,}24}{0{,}4} = 0{,}6

Kedy je q pravdepodobnosťou

Aby bolo $q$ medzi nulou a jednotkou, musí platiť $d < 1+r < u$ , teda presne bezarbitrážna podmienka z tretej kapitoly. To nie je náhoda: model je bezarbitrážny práve vtedy, keď takáto miera existuje. Šiesta kapitola z toho spraví vetu.

Oceňovanie cez očakávanú výplatu

Keď máme $q$ , cena derivátu je jednoducho diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$ :

\boxed{\ C_0 = \frac{1}{1+r}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[C_1] = \frac{q\,C_u + (1-q)\,C_d}{1+r}\ }

Tri kroky, žiadna sústava rovníc:

Spočítaj $q$ z $u$ , $d$ a $r$ .
Zváž výplaty touto váhou.
Diskontuj bezrizikovou sadzbou.

Diskontuje sa bezrizikovou sadzbou, a to je tá pointa: pod mierou $\mathbb{Q}$ už v očakávanej výplate nie je žiadna riziková prémia, ktorú by bolo treba kompenzovať vyšším diskontom.

Obe metódy, jeden výsledok

Zoberme presne ten istý príklad ako v tretej kapitole: $S_0 = 200$ €, $u = 1{,}2$ , $d = 0{,}8$ , $r = 4\ \%$ , $K = 200$ €.

	Replikácia (kapitola 3)	Riziko-neutrálne oceňovanie
Krok 1	$\Delta = \frac{40-0}{240-160} = 0{,}5$	$q = \frac{1{,}04-0{,}8}{0{,}4} = 0{,}6$
Krok 2	$B = \frac{40 - 0{,}5 \cdot 240}{1{,}04} = -76{,}92$ €	$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[C_1] = 0{,}6 \cdot 40 = 24$ €
Krok 3	$C_0 = 0{,}5 \cdot 200 - 76{,}92$	$C_0 = \frac{24}{1{,}04}$
Cena	23,08 €	23,08 €

Prečo to vychádza rovnako

Dá sa to ukázať priamo. Z tretej kapitoly:

C_0 = \Delta S_0 + \frac{C_u - \Delta S_u}{1+r} \qquad\text{kde}\qquad \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}

Ak do toho dosadíte $S_u = uS_0$ , $S_d = dS_0$ a pozbierate členy pri $C_u$ a $C_d$ , koeficienty vyjdú presne $\frac{q}{1+r}$ a $\frac{1-q}{1+r}$ s tým $q$ , ktoré sme odvodili vyššie. Algebra je zdĺhavá, ale nič v nej nie je prekvapivé, a interaktívny nástroj nižšie ukazuje tú rovnosť pri každom nastavení parametrov.

Interaktívne: P proti Q

Prvý posuvník je váš názor na trh. Sledujte, čo sa stane s pravým stĺpcom a s cenou opcie, keď ním pohnete.

Váš názor na trh

Skutočná pravdepodobnosť rastu p

170,00 %99

Toto je váš odhad. Model ho na oceňovanie nepotrebuje.

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,00 %15

Veličina	Pod mierou P (realita)	Pod mierou Q (oceňovanie)
Pravdepodobnosť rastu	70,00 %	60,00 %
Očakávaná cena akcie	216,00 €	208,00 €
Očakávaný výnos akcie	8,00 %	4,00 %
Očakávaná výplata opcie	28,00 €	24,00 €
Diskontovaná očakávaná výplata	26,92 €	23,08 €

Cena opcie

23,08 €

Nezávisí od p. Skúste posunúť prvý posuvník.

Čo si všimnúť

Ľavý stĺpec sa s vaším názorom hýbe, pravý nie. Cena opcie je pritom vždy z pravého stĺpca, a preto sa dvaja investori s úplne opačným názorom musia zhodnúť na cene, hoci sa nezhodnú na ničom inom.

Čo si vyskúšať:

Posuňte $p$ od 1 % po 99 %. Ľavý stĺpec sa hýbe divoko: očakávaný výnos akcie skáče, očakávaná výplata opcie tiež. Cena opcie sa nepohne ani o cent.
Teraz posuňte sadzbu. Cena sa zmení okamžite, lebo $q$ závisí od $r$ , kým od $p$ nie.
Posuňte $u$ alebo $d$ . Cena sa zmení tiež: rozsah možných výplat je vecou modelu, nie názoru.

To, čo cenu určuje, sú teda pozorovateľné veličiny: ceny, sadzba, rozsah pohybu. To, čo ju neurčuje, je názor.

Časté nedorozumenia

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: od čoho q závisí

Akcia stojí 50 €, faktory sú $u = 1{,}25$ a $d = 0{,}80$ , sadzba 6 %.

Spočítajte $q$ . Potom odpovedzte: zmení sa $q$ , ak sa cena akcie zmení na 500 €? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie.

Riziko-neutrálna pravdepodobnosť q

Závisí q od ceny akcie? (1/0)

Cvičenie

Quick check: čo je q a čo nie je

V modeli vyšlo $q = 0{,}6$ , zatiaľ čo z historických dát vyplýva, že akcia rástla v 45 % období.

Aká je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, ktorú použijete na ocenenie opcie? A aká je skutočná pravdepodobnosť rastu podľa dát?

Na ocenenie použijem

Skutočná pravdepodobnosť

Cvičenie

Ocenenie oboma spôsobmi

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 130 € alebo 80 €, sadzba je 5 %. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

Oceňte ju riziko-neutrálne a porovnajte s replikáciou z tretej kapitoly (tam vyšlo 14,29 €).

Očakávaná výplata pod Q

€

Cena opcie

€

Cvičenie

Dvaja investori, jedna cena

Na tom istom modeli (akcia 100 €, stavy 130 a 80 €, sadzba 5 %) Jana verí, že $p = 0{,}75$ , a Peter, že $p = 0{,}30$ .

Spočítajte, akú očakávanú výplatu vidí každý z nich pod svojou vierou, a akú cenu opcie dostane každý z nich riziko-neutrálnym oceňovaním.

Očakávaná výplata podľa Jany

€

Očakávaná výplata podľa Petra

€

Cena opcie pre oboch

€

Cvičenie

Predajná opcia a kontrola paritou

Rovnaký model. Oceňte teraz predajnú opciu s realizačnou cenou 100 € a overte put-call paritu.

Cena predajnej opcie

€

C − P

€

Cvičenie

Challenge: keď je q mimo intervalu

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 106 € alebo 99 €. Bezriziková sadzba je 8 %.

Spočítajte $q$ , rozhodnite, čo z toho vyplýva, a zostavte arbitrážnu stratégiu. Aký je istý zisk na jednu akciu?

Vypočítané q

Istý zisk na akciu

€

Čo si zapamätať

Fyzická miera $\mathbb{P}$ je to, čo si myslíte; riziko-neutrálna $\mathbb{Q}$ je nástroj na oceňovanie. Sú to dve rôzne veci a nemajú dôvod sa zhodovať.
$q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$ je jediná váha, pri ktorej akcia v priemere rastie bezrizikovou sadzbou.
$q$ nezávisí od ceny akcie ani od ničieho názoru, len od $u$ , $d$ a $r$ .
Cena derivátu je diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$ : $C_0 = \frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+r}$ .
Replikácia a riziko-neutrálne oceňovanie dávajú vždy tú istú cenu. Je to jedna veta v dvoch zápisoch, nie dva nezávislé postupy.
Diskontuje sa bezrizikovou sadzbou, lebo pod $\mathbb{Q}$ už v očakávanej výplate nie je riziková prémia.
$q$ mimo intervalu $(0,1)$ znamená arbitráž, nie chybu výpočtu. Bezarbitrážna podmienka a existencia $q$ sú to isté tvrdenie.
Averzia k riziku je započítaná v cene podkladu, ktorú model berie z trhu. Preto sa vo vzorci pre derivát už neobjaví.

Kapitoly

← Prehľad kurzu

Kapitola 4 z 17

Riziko-neutrálna miera

Váha, ktorá vyzerá ako pravdepodobnosť, ale nie je predpoveďou ničoho, a prečo dáva tú istú cenu ako replikácia.

11 minút

Problém

Tretia kapitola opciu ocenila, ale postup bol zdĺhavý: pre každý derivát treba vyriešiť sústavu dvoch rovníc a zložiť portfólio. Pri stromoch s desiatkami uzlov by to bolo neúnosné.

A je tu druhá, hlbšia otázka.

Predstavte si dvoch investorov nad tou istou akciou. Jana si myslí, že pravdepodobnosť rastu je 70 %. Peter, s rovnakými dátami a iným úsudkom, tvrdí 40 %.

Ich odhady očakávanej výplaty opcie sa zásadne líšia:

	Jana ( $p = 0{,}7$ )	Peter ( $p = 0{,}4$ )
Očakávaná výplata	$0{,}7 \cdot 40 = 28$ €	$0{,}4 \cdot 40 = 16$ €

Napriek tomu obaja vidia na burze jednu cenu, a v tretej kapitole sme ju spočítali na 23,08 € bez toho, aby sme sa niekoho pýtali na názor.

Ako je to možné? A dá sa to počítanie skrátiť?

Dve miery

Fyzická (skutočná) miera P: Pravdepodobnosti, s ktorými sa veci naozaj dejú, alebo aspoň to, čo si o nich myslíme. Odhadujú sa z dát alebo z úsudku a dvaja ľudia sa na nich nemusia zhodnúť.

Riziko-neutrálna miera Q: Umelé váhy, pri ktorých každé aktívum v priemere rastie bezrizikovou sadzbou. Nie sú predpoveďou; sú nástrojom na oceňovanie, ktorý je konzistentný s bezarbitrážnym princípom.

Odvodenie váhy q

Hľadáme číslo $q$ také, aby akcia pod ním v priemere rástla presne bezrizikovou sadzbou. Formálne:

\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = S_0(1+r)

Krok 1: rozpíšeme strednú hodnotu. Akcia môže skončiť na dvoch miestach, tak stredná hodnota je vážený priemer:

q\,S_u + (1-q)\,S_d = S_0(1+r)

Krok 2: dosadíme $S_u = uS_0$ a $S_d = dS_0$ .

q\,uS_0 + (1-q)\,dS_0 = S_0(1+r)

Krok 3: vydelíme $S_0$ . Smieme, lebo cena akcie je kladná, a všimnite si, čo to znamená: $q$ nezávisí od ceny akcie, len od faktorov a sadzby.

qu + (1-q)d = 1+r

Krok 4: roznásobíme a zoskupíme členy s $q$ .

qu + d - qd = 1+r \qquad\Longrightarrow\qquad q(u - d) = 1 + r - d

Krok 5: vydelíme $(u-d)$ , čo je nenulové, lebo stavy sú dva rôzne:

\boxed{\ q = \frac{(1+r) - d}{u - d}\ }

Pri našich číslach ( $u = 1{,}2$ , $d = 0{,}8$ , $r = 4\ \%$ ):

q = \frac{1{,}04 - 0{,}8}{1{,}2 - 0{,}8} = \frac{0{,}24}{0{,}4} = 0{,}6

Kedy je q pravdepodobnosťou

Oceňovanie cez očakávanú výplatu

Keď máme $q$ , cena derivátu je jednoducho diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$ :

\boxed{\ C_0 = \frac{1}{1+r}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[C_1] = \frac{q\,C_u + (1-q)\,C_d}{1+r}\ }

Tri kroky, žiadna sústava rovníc:

Spočítaj $q$ z $u$ , $d$ a $r$ .
Zváž výplaty touto váhou.
Diskontuj bezrizikovou sadzbou.

Obe metódy, jeden výsledok

Zoberme presne ten istý príklad ako v tretej kapitole: $S_0 = 200$ €, $u = 1{,}2$ , $d = 0{,}8$ , $r = 4\ \%$ , $K = 200$ €.

	Replikácia (kapitola 3)	Riziko-neutrálne oceňovanie
Krok 1	$\Delta = \frac{40-0}{240-160} = 0{,}5$	$q = \frac{1{,}04-0{,}8}{0{,}4} = 0{,}6$
Krok 2	$B = \frac{40 - 0{,}5 \cdot 240}{1{,}04} = -76{,}92$ €	$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[C_1] = 0{,}6 \cdot 40 = 24$ €
Krok 3	$C_0 = 0{,}5 \cdot 200 - 76{,}92$	$C_0 = \frac{24}{1{,}04}$
Cena	23,08 €	23,08 €

Prečo to vychádza rovnako

Dá sa to ukázať priamo. Z tretej kapitoly:

C_0 = \Delta S_0 + \frac{C_u - \Delta S_u}{1+r} \qquad\text{kde}\qquad \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}

Interaktívne: P proti Q

Prvý posuvník je váš názor na trh. Sledujte, čo sa stane s pravým stĺpcom a s cenou opcie, keď ním pohnete.

Váš názor na trh

Skutočná pravdepodobnosť rastu p

170,00 %99

Toto je váš odhad. Model ho na oceňovanie nepotrebuje.

Cena akcie dnes S₀

50200,00 €400

Realizačná cena K

50200,00 €400

Rastový faktor u

1.051,21.8

Klesajúci faktor d

0.50,80.95

Bezriziková sadzba r

04,00 %15

Veličina	Pod mierou P (realita)	Pod mierou Q (oceňovanie)
Pravdepodobnosť rastu	70,00 %	60,00 %
Očakávaná cena akcie	216,00 €	208,00 €
Očakávaný výnos akcie	8,00 %	4,00 %
Očakávaná výplata opcie	28,00 €	24,00 €
Diskontovaná očakávaná výplata	26,92 €	23,08 €

Cena opcie

23,08 €

Nezávisí od p. Skúste posunúť prvý posuvník.

Čo si všimnúť

Čo si vyskúšať:

Posuňte $p$ od 1 % po 99 %. Ľavý stĺpec sa hýbe divoko: očakávaný výnos akcie skáče, očakávaná výplata opcie tiež. Cena opcie sa nepohne ani o cent.
Teraz posuňte sadzbu. Cena sa zmení okamžite, lebo $q$ závisí od $r$ , kým od $p$ nie.
Posuňte $u$ alebo $d$ . Cena sa zmení tiež: rozsah možných výplat je vecou modelu, nie názoru.

To, čo cenu určuje, sú teda pozorovateľné veličiny: ceny, sadzba, rozsah pohybu. To, čo ju neurčuje, je názor.

Časté nedorozumenia

Cvičenia

Cvičenie

Quick check: od čoho q závisí

Akcia stojí 50 €, faktory sú $u = 1{,}25$ a $d = 0{,}80$ , sadzba 6 %.

Spočítajte $q$ . Potom odpovedzte: zmení sa $q$ , ak sa cena akcie zmení na 500 €? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie.

Riziko-neutrálna pravdepodobnosť q

Závisí q od ceny akcie? (1/0)

Cvičenie

Quick check: čo je q a čo nie je

V modeli vyšlo $q = 0{,}6$ , zatiaľ čo z historických dát vyplýva, že akcia rástla v 45 % období.

Aká je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, ktorú použijete na ocenenie opcie? A aká je skutočná pravdepodobnosť rastu podľa dát?

Na ocenenie použijem

Skutočná pravdepodobnosť

Cvičenie

Ocenenie oboma spôsobmi

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 130 € alebo 80 €, sadzba je 5 %. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

Oceňte ju riziko-neutrálne a porovnajte s replikáciou z tretej kapitoly (tam vyšlo 14,29 €).

Očakávaná výplata pod Q

€

Cena opcie

€

Cvičenie

Dvaja investori, jedna cena

Na tom istom modeli (akcia 100 €, stavy 130 a 80 €, sadzba 5 %) Jana verí, že $p = 0{,}75$ , a Peter, že $p = 0{,}30$ .

Spočítajte, akú očakávanú výplatu vidí každý z nich pod svojou vierou, a akú cenu opcie dostane každý z nich riziko-neutrálnym oceňovaním.

Očakávaná výplata podľa Jany

€

Očakávaná výplata podľa Petra

€

Cena opcie pre oboch

€

Cvičenie

Predajná opcia a kontrola paritou

Rovnaký model. Oceňte teraz predajnú opciu s realizačnou cenou 100 € a overte put-call paritu.

Cena predajnej opcie

€

C − P

€

Cvičenie

Challenge: keď je q mimo intervalu

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 106 € alebo 99 €. Bezriziková sadzba je 8 %.

Spočítajte $q$ , rozhodnite, čo z toho vyplýva, a zostavte arbitrážnu stratégiu. Aký je istý zisk na jednu akciu?

Vypočítané q

Istý zisk na akciu

€

Čo si zapamätať

Fyzická miera $\mathbb{P}$ je to, čo si myslíte; riziko-neutrálna $\mathbb{Q}$ je nástroj na oceňovanie. Sú to dve rôzne veci a nemajú dôvod sa zhodovať.
$q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$ je jediná váha, pri ktorej akcia v priemere rastie bezrizikovou sadzbou.
$q$ nezávisí od ceny akcie ani od ničieho názoru, len od $u$ , $d$ a $r$ .
Cena derivátu je diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$ : $C_0 = \frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+r}$ .
Replikácia a riziko-neutrálne oceňovanie dávajú vždy tú istú cenu. Je to jedna veta v dvoch zápisoch, nie dva nezávislé postupy.
Diskontuje sa bezrizikovou sadzbou, lebo pod $\mathbb{Q}$ už v očakávanej výplate nie je riziková prémia.
$q$ mimo intervalu $(0,1)$ znamená arbitráž, nie chybu výpočtu. Bezarbitrážna podmienka a existencia $q$ sú to isté tvrdenie.
Averzia k riziku je započítaná v cene podkladu, ktorú model berie z trhu. Preto sa vo vzorci pre derivát už neobjaví.

Kapitoly

← Prehľad kurzu