Chapter 14 of 17

Americké a exotické opcie

Kde uzavretý vzorec končí: rozhodovanie v čase, bariéry, priemery a extrémy.

19 minutes

Problém

Dvanásta kapitola dala vzorec. Trinásta ukázala, čo sa s ním dá robiť.

Táto kapitola ukáže, kde prestáva stačiť.

Black–Scholesov vzorec platí pre európsku opciu na akciu bez dividend. To je jeden konkrétny kontrakt. Trh ich obchoduje stovky druhov a väčšina z nich do tej definície nespadá:

Opcia, ktorú možno uplatniť kedykoľvek, nielen na konci.
Opcia, ktorá zanikne, ak cena prekročí istú hranicu.
Opcia, ktorá sa vyplatí podľa priemernej ceny za rok.
Opcia, ktorá sa vyplatí podľa najlepšej ceny, akú akcia dosiahla.

Ani jednu z nich vzorec neocení. Nástroje na ne však už máme, a sú to presne tie, ktoré kurz postavil: strom z piatej kapitoly a simuláciu z desiatej.

Európska verzus americká opcia

Európska a americká opcia

Európska opcia sa dá uplatniť len v deň expirácie.

Americká opcia sa dá uplatniť kedykoľvek do expirácie vrátane.

Názvy s geografiou nesúvisia; sú to len zavedené označenia. Väčšina opcií na jednotlivé akcie sa obchoduje ako americká, väčšina opcií na indexy ako európska.

Rozdiel sa dá nakresliť na časovej osi:

Európska:   |-------------------------------|
            dnes                      expirácia
                                       ↑ jediný okamih rozhodnutia

Americká:   |•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•|
            dnes                      expirácia
             ↑ rozhodnutie v každom okamihu

Americká opcia dáva teda všetko, čo európska, a navyše právo rozhodnúť sa skôr. Právo navyše nemôže mať zápornú hodnotu, takže:

V_{\text{americká}} \ge V_{\text{európska}}

Otázka je, o koľko, a či vôbec.

Kedy sa oplatí uplatniť skôr

Kúpna opcia bez dividend: nikdy

Pri akcii vyplácajúcej dividendu to už neplatí: tesne pred výplatou sa uplatnenie oplatiť môže, lebo držiteľ opcie dividendu nedostáva.

Predajná opcia: môže sa oplatiť

Tu je situácia opačná. Uplatnením predajnej opcie dostanete realizačnú cenu, a tá môže ležať na úroku.

Vezmite extrémny prípad. Akcia stojí 1 €, realizačná cena je 100 €. Opcia je hlboko v peniazoch a jej hodnota sa už takmer nemá kam zlepšiť: akcia môže klesnúť najviac o euro. Zato 99 € získaných dnes môže rok zarábať.

Americký držiteľ ich vezme. Európsky nemôže, hoci by chcel.

Ako to strom počíta

Uzavretý vzorec pre americkú opciu neexistuje. Strom si s ňou poradí jedinou zmenou.

V každom uzle sa porovnajú dve možnosti:

V_i = \max\Big(\underbrace{\text{vnútorná hodnota}}_{\text{uplatniť}},\; \underbrace{e^{-r\Delta t}\left[pV^{u}_{i+1} + (1-p)V^{d}_{i+1}\right]}_{\text{držať}}\Big)

Krok za krokom:

Krok 1. Na poslednej vrstve je hodnota rovná výplate. Tam sa niet o čom rozhodovať.

Krok 2. V ktoromkoľvek uzle o vrstvu skôr sa spočíta hodnota držania, presne ako v piatej kapitole: diskontovaný riziko-neutrálny priemer dvoch nasledovníkov.

Krok 3. Spočíta sa hodnota uplatnenia, teda vnútorná hodnota v tomto uzle.

Krok 4. Vezme sa väčšia z nich.

Krok 5. Postupuje sa k ďalšej vrstve a opakuje sa to isté.

To je celý rozdiel oproti európskej opcii: jedno max navyše v každom uzle.

Práve pre toto zostáva binomický model živý aj po Black–Scholesovi. Je to najjednoduchší nástroj, ktorý zvládne rozhodovanie v čase, a integrál z desiatej kapitoly to nezvládne: ten sčítava koncové výplaty a o tom, čo sa dialo cestou, nevie.

Hranica skorého uplatnenia

Z krokov vyššie vyplýva niečo, čo sa nedá povedať ako jednoduché pravidlo.

Či sa uplatnenie oplatí, závisí od ceny aj od času. V každom okamihu existuje cena, pod ktorou sa už oplatí, a nad ktorou ešte nie. Tieto body dokopy tvoria krivku.

Hranica skorého uplatnenia

Krivka v rovine (čas, cena), ktorá oddeľuje oblasť, kde je optimálne opciu držať, od oblasti, kde je optimálne ju uplatniť.

Pre predajnú opciu leží pod realizačnou cenou a s blížiacou sa expiráciou k nej stúpa.

Pozrite sa na ňu.

Option type

Put

Call

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€110.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Risk-free rate r

05.0%0.2

Tree steps

20200400

European versus American

American

€15.63

European (same tree)

€14.66

Early-exercise premium: €0.96
European by formula: €14.66
Immediate exercise: €10.00

The early-exercise boundary

The exercise boundary at selected times
Time	Boundary
0.065	€75.90
0.18	€77.53
0.295	€79.19
0.41	€80.89
0.525	€82.62
0.64	€84.39
0.755	€86.20
0.87	€91.86
0.985	€102.14

Exercise boundary
Strike price
Price today

For a put the boundary exists. Below it exercising wins, above it holding does. Notice that it rises towards the strike as expiry approaches: the less time is left, the less there is to wait for.

How to read it

Raise the rate and the whole boundary lifts: the cash from exercising sits on interest for longer, so exercising becomes worthwhile sooner. Raise the volatility and it falls: on a jumpy share, waiting is worth more because much can still happen.

Čo vyskúšať:

Prepnite na kúpnu opciu. Hranica zmizne a prémia padne presne na nulu. To je tvrdenie z predchádzajúcej sekcie, overené výpočtom.
Zvyšujte sadzbu. Hranica sa dvíha: peniaze z uplatnenia ležia dlhšie na úroku, takže sa uplatniť oplatí skôr.
Zvyšujte volatilitu. Hranica klesá. Pri kolísavej akcii je čakanie cennejšie, lebo sa ešte veľa môže stať.
Posuňte cenu akcie hlboko pod realizačnú. Americká cena sa priblíži k vnútornej hodnote, lebo optimálne je uplatniť hneď.

Exotické opcie

Americká opcia menila kedy sa dá uplatniť. Exotické opcie menia čo sa vypláca.

Spoločné majú jedno: skoro všetky sú závislé od cesty. Výplata nezávisí len od koncovej ceny, ale od toho, kadiaľ sa k nej prišlo.

Digitálne opcie

Digitálna (binárna) opcia

Cash-or-nothing vyplatí pevnú sumu, ak opcia skončí v peniazoch, inak nič.

Asset-or-nothing vyplatí jednu akciu, ak opcia skončí v peniazoch, inak nič.

Toto sú jediné exotické opcie, ktoré uzavretý vzorec majú, a poznáme ho už z desiatej kapitoly:

\text{cash-or-nothing} = e^{-rT}N(d_2), \qquad \text{asset-or-nothing} = S_0N(d_1)

za jedno euro, respektíve jednu akciu výplaty. Ich rozdiel je bežná kúpna opcia.

Digitálna opcia je teda čistá stávka na pravdepodobnosť. Práve preto je jej cena tak priamo interpretovateľná.

Zaisťovanie je pri nej notoricky nepríjemné. Tesne pred expiráciou a pri cene blízko realizačnej hodnoty jej delta exploduje: jeden cent pohybu rozhodne o celej výplate. Preto sa digitálne opcie v praxi replikujú tesným párom bežných opcií namiesto priameho hedgingu.

Bariérové opcie

Bariérová opcia

Opcia, ktorá zanikne alebo sa aktivuje, keď cena podkladu dosiahne určenú hranicu.

Typ	Bariéra	Čo sa stane
Up-and-out	nad cenou	zanikne pri dosiahnutí
Down-and-out	pod cenou	zanikne pri dosiahnutí
Up-and-in	nad cenou	aktivuje sa pri dosiahnutí
Down-and-in	pod cenou	aktivuje sa pri dosiahnutí

Užitočná identita, ktorú si každý bariérový obchodník kontroluje:

\text{knock-in} + \text{knock-out} = \text{bežná opcia}

Presne jedna z nich totiž prežije: buď sa bariéra dosiahla, alebo nie. Kto drží obe, drží vanillu.

Načo to komu je. Bariérová opcia je lacnejšia než bežná, lebo poskytuje menej. Kupuje ju ten, kto si myslí, že bariéra dosiahnutá nebude, a nechce za tú možnosť platiť.

Ázijské opcie

Ázijská opcia

Výplata závisí od priemernej ceny za obdobie, nie od koncovej:

\max\left(\bar{S} - K,\, 0\right), \qquad \bar{S} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} S_{t_i}

Priemer môže byť aritmetický (bežnejší) alebo geometrický (má uzavretý vzorec).

Ázijská opcia je vždy lacnejšia než bežná. Priemerovanie tlmí kolísanie: rozptyl priemeru je menší než rozptyl koncovej hodnoty, a menej kolísavá veličina znamená lacnejšiu opciu.

Načo to komu je. Firma, ktorá kupuje ropu celý rok, nie je vystavená cene v jeden konkrétny deň, ale priemernej cene za rok. Bežná opcia by ju zaistila proti nesprávnemu riziku. Ázijská sedí na to, čo firma naozaj má.

Druhý dôvod je odolnosť voči manipulácii: cenu v jeden deň sa dá ovplyvniť, ročný priemer nie.

Lookback opcie

Lookback opcia

Výplata závisí od maxima alebo minima ceny počas života opcie.

Pevná realizačná cena: $\max(S_{\max} - K, 0)$ pre kúpnu.

Plávajúca realizačná cena: $S_T - S_{\min}$ pre kúpnu, teda realizačnou cenou je samotné minimum.

Lookback opcia je drahá, a musí byť. Na každej jednej ceste vyplatí aspoň toľko, čo bežná opcia, lebo maximum je aspoň taká vysoké ako koncová cena. Kto ju drží, dostane spätne najlepší okamih, aký nastal.

Plávajúca verzia je ešte drastickejšia: vždy skončí v peniazoch, lebo koncová cena nemôže byť pod minimom. Kupuje sa za to, čo je v podstate cena dokonalého načasovania.

Interaktívne: všetky na jednej ceste

Nasledujúci nástroj vygeneruje jednu cestu ceny a ukáže, čo by na nej vyplatil ktorý kontrakt. Prepínaním vidíte, že tá istá trajektória vyplatí zakaždým inak, podľa toho, čo z nej kontrakt číta.

Contract

Dies if the price ever touches the upper barrier. Cheaper than the vanilla.

Type

Call

Put

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Barrier

40€130.00220

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Observations per path

10100250

Number of simulations

500400020000

This particular path
Terminal price	€136.02
Maximum	€152.87
Minimum	€96.51
Payoff of this contract	€0.00

K: €100.00
barrier: €130.00

This particular path

Terminal price: €136.02
Maximum: €152.87
Minimum: €96.51
Payoff of this contract: €0.00
Barrier touched: yes

Price of the contract

Simulated price: €1.91
95 % interval: €1.75 – €2.06
Share of paths paying anything: 18.6%
Vanilla by formula: €14.23

For a European option the closed form sits beside the simulation. When those two agree, the estimates for contracts that have no closed form are worth something.

The barrier is checked only at the simulated instants. A path that crossed between two observations is missed, so a knock-out comes out slightly too expensive. The error falls as observations rise; drag the slider and watch the price move.

Čo vyskúšať:

Nechajte bariérovú up-and-out a posúvajte bariéru. Pri vysokej bariére sa cena blíži k bežnej opcii, pri nízkej ide k nule.
Prepnite na up-and-in a sčítajte obe ceny. Súčet je bežná opcia, na haliere.
Prepnite na ázijskú. Cena spadne zhruba na polovicu bežnej. To je efekt priemerovania.
Prepnite na lookback. Cena vyskočí takmer dvojnásobne oproti bežnej.
Zvyšujte počet pozorovaní na dráhu pri bariérovej opcii a sledujte, ako sa cena knock-out mierne znižuje. Jemnejšie sledovanie zachytí viac prekročení bariéry.

Časté nedorozumenia

Americká opcia nie je „lepšia" investícia.

Je len drahšia o cenu práva, ktoré poskytuje navyše. Na trhu sa obe predávajú za to, čo stoja.

Skoré uplatnenie nie je to isté ako predaj opcie.

Uplatnenie znamená vykonať zmluvu. Predaj znamená postúpiť ju niekomu inému, a pri kúpnej opcii na akciu bez dividend je vždy výhodnejší.

Exotická neznamená vzácna.

Bariérové a ázijské opcie sa obchodujú v obrovských objemoch, najmä v korporátnom hedgingu a v štruktúrovaných produktoch. Slovo „exotická" odkazuje na tvar výplaty, nie na zriedkavosť.

Nižšia cena neznamená lepší obchod.

Bariérová opcia je lacnejšia, lebo môže zaniknúť práve vtedy, keď by bola najužitočnejšia. Kto ju kupuje len preto, že je lacná, kupuje si menej ochrany bez toho, aby si to uvedomil.

Simulácia nie je presnejšia než strom.

Je len použiteľná tam, kde strom nie je. Šestnásta kapitola ukazuje, že pri európskej opcii je strom rýchlejší aj presnejší.

Cvičenia

Exercise

Quick check: čo je drahšie

Zoraďte podľa ceny (od najlacnejšej po najdrahšiu) tri kontrakty na tú istú akciu s tou istou realizačnou cenou a expiráciou: ázijskú kúpnu opciu, bežnú kúpnu opciu a lookback kúpnu opciu s pevnou realizačnou cenou.

Zadajte poradové číslo bežnej opcie v tomto zoradení.

Poradie bežnej opcie

Exercise

Quick check: knock-in plus knock-out

Bežná kúpna opcia stojí 14,23 €. Up-and-out opcia s bariérou 130 € stojí 1,86 €.

Koľko stojí up-and-in opcia s tou istou bariérou?

Cena up-and-in

€

Exercise

Quick check: prečo sa kúpna neuplatňuje skôr

Akcia stojí 150 €, realizačná cena americkej kúpnej opcie je 100 €, sadzba 5 %, do expirácie rok. Akcia nevypláca dividendy.

Koľko by prinieslo okamžité uplatnenie a aká je dolná hranica hodnoty živej opcie?

Uplatnenie prinesie

€

Dolná hranica hodnoty

€

Exercise

Kedy sa oplatí uplatniť skôr

Akcia stojí 100 €, každý rok sa vynásobí 1,2 alebo 0,8, sadzba je 2 % a do expirácie sú dva roky. Predajná opcia má realizačnú cenu 110 €. Riziko-neutrálna pravdepodobnosť je $p = 0{,}5505$ .

V dolnom uzle po prvom roku (akcia na 80 €) porovnajte hodnotu držania s okamžitým uplatnením.

Hodnota držania

€

Hodnota uplatnenia

€

Exercise

Prémia za právo uplatniť skôr

Rovnaký strom. Európska predajná opcia stojí 15,59 €.

Spočítajte cenu americkej opcie a rozdiel medzi nimi.

Cena americkej opcie

€

Prémia za skoré uplatnenie

€

Exercise

Hlboko v peniazoch

Akcia stojí 60 €, realizačná cena predajnej opcie je 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok do expirácie.

Európska verzia stojí 35,73 €. Americká stojí 40,00 €.

Aká je vnútorná hodnota a aká prémia za skoré uplatnenie? A prečo je americká cena presne rovná vnútornej hodnote?

Vnútorná hodnota

€

Prémia

€

Exercise

Digitálna opcia

Akcia 100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok do expirácie. Vieme, že $N(d_2) = 0{,}5066$ .

Koľko stojí digitálna opcia, ktorá vyplatí 1 000 € pri skončení nad realizačnou cenou?

Cena digitálnej opcie

€

Exercise

Výplaty na jednej ceste

Akcia začala na 100 € a jej cena bola postupne 100, 120, 90, 110 a 105 €. Realizačná cena je vo všetkých prípadoch 100 €.

Spočítajte výplatu bežnej kúpnej opcie, ázijskej (aritmetický priemer), lookbacku s pevnou realizačnou cenou a up-and-out opcie s bariérou 115 €.

Bežná

€

Ázijská

€

Lookback

€

Up-and-out

€

Exercise

Challenge: prečo je ázijská opcia lacnejšia

Simulácia pri parametroch 100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok, dáva tieto ceny: bežná kúpna 14,23 €, ázijská s aritmetickým priemerom 8,01 €, lookback s pevnou realizačnou cenou 26,36 €.

O koľko percent je ázijská lacnejšia a lookback drahší než bežná? A prečo priemerovanie znižuje cenu?

Ázijská je lacnejšia o %

Lookback je drahší o %

Čo si zapamätať

Americká opcia sa dá uplatniť kedykoľvek, a preto nikdy nestojí menej než európska. Rozdiel je prémia za skoré uplatnenie.
Kúpnu opciu na akciu bez dividend sa nikdy neoplatí uplatniť skôr, lebo živá opcia stojí aspoň $S - Ke^{-rT} > S - K$ .
Predajnú sa oplatiť môže, lebo uplatnením sa realizačná cena získava, nie platí, a môže ležať na úroku.
Strom rieši americkú opciu jedným max navyše v každom uzle: väčšia z hodnoty držania a hodnoty uplatnenia.
Hranica skorého uplatnenia je krivka, nie číslo. Závisí od ceny aj od času, stúpa s klesajúcim časom a so sadzbou, klesá s volatilitou.
Exotické opcie sú väčšinou závislé od cesty, a to rozbíja spájanie stromu. Vtedy nastupuje simulácia.
Knock-in plus knock-out je bežná opcia. Presne jedna z nich prežije.
Ázijská je lacnejšia (priemer kolíše menej), lookback drahší (maximum je vždy aspoň koncová cena), digitálna je čistá stávka na pravdepodobnosť.
Uzavretý vzorec majú z exotických opcií len digitálne a ázijská s geometrickým priemerom. Zvyšok potrebuje strom alebo simuláciu.

Chapters

← Course overview

Chapter 14 of 17

Americké a exotické opcie

Kde uzavretý vzorec končí: rozhodovanie v čase, bariéry, priemery a extrémy.

19 minutes

Problém

Dvanásta kapitola dala vzorec. Trinásta ukázala, čo sa s ním dá robiť.

Táto kapitola ukáže, kde prestáva stačiť.

Black–Scholesov vzorec platí pre európsku opciu na akciu bez dividend. To je jeden konkrétny kontrakt. Trh ich obchoduje stovky druhov a väčšina z nich do tej definície nespadá:

Opcia, ktorú možno uplatniť kedykoľvek, nielen na konci.
Opcia, ktorá zanikne, ak cena prekročí istú hranicu.
Opcia, ktorá sa vyplatí podľa priemernej ceny za rok.
Opcia, ktorá sa vyplatí podľa najlepšej ceny, akú akcia dosiahla.

Ani jednu z nich vzorec neocení. Nástroje na ne však už máme, a sú to presne tie, ktoré kurz postavil: strom z piatej kapitoly a simuláciu z desiatej.

Európska verzus americká opcia

Európska a americká opcia

Európska opcia sa dá uplatniť len v deň expirácie.

Americká opcia sa dá uplatniť kedykoľvek do expirácie vrátane.

Názvy s geografiou nesúvisia; sú to len zavedené označenia. Väčšina opcií na jednotlivé akcie sa obchoduje ako americká, väčšina opcií na indexy ako európska.

Rozdiel sa dá nakresliť na časovej osi:

Európska:   |-------------------------------|
            dnes                      expirácia
                                       ↑ jediný okamih rozhodnutia

Americká:   |•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•-•|
            dnes                      expirácia
             ↑ rozhodnutie v každom okamihu

Americká opcia dáva teda všetko, čo európska, a navyše právo rozhodnúť sa skôr. Právo navyše nemôže mať zápornú hodnotu, takže:

V_{\text{americká}} \ge V_{\text{európska}}

Otázka je, o koľko, a či vôbec.

Kedy sa oplatí uplatniť skôr

Kúpna opcia bez dividend: nikdy

Pri akcii vyplácajúcej dividendu to už neplatí: tesne pred výplatou sa uplatnenie oplatiť môže, lebo držiteľ opcie dividendu nedostáva.

Predajná opcia: môže sa oplatiť

Tu je situácia opačná. Uplatnením predajnej opcie dostanete realizačnú cenu, a tá môže ležať na úroku.

Americký držiteľ ich vezme. Európsky nemôže, hoci by chcel.

Ako to strom počíta

Uzavretý vzorec pre americkú opciu neexistuje. Strom si s ňou poradí jedinou zmenou.

V každom uzle sa porovnajú dve možnosti:

V_i = \max\Big(\underbrace{\text{vnútorná hodnota}}_{\text{uplatniť}},\; \underbrace{e^{-r\Delta t}\left[pV^{u}_{i+1} + (1-p)V^{d}_{i+1}\right]}_{\text{držať}}\Big)

Krok za krokom:

Krok 1. Na poslednej vrstve je hodnota rovná výplate. Tam sa niet o čom rozhodovať.

Krok 2. V ktoromkoľvek uzle o vrstvu skôr sa spočíta hodnota držania, presne ako v piatej kapitole: diskontovaný riziko-neutrálny priemer dvoch nasledovníkov.

Krok 3. Spočíta sa hodnota uplatnenia, teda vnútorná hodnota v tomto uzle.

Krok 4. Vezme sa väčšia z nich.

Krok 5. Postupuje sa k ďalšej vrstve a opakuje sa to isté.

To je celý rozdiel oproti európskej opcii: jedno max navyše v každom uzle.

Hranica skorého uplatnenia

Z krokov vyššie vyplýva niečo, čo sa nedá povedať ako jednoduché pravidlo.

Či sa uplatnenie oplatí, závisí od ceny aj od času. V každom okamihu existuje cena, pod ktorou sa už oplatí, a nad ktorou ešte nie. Tieto body dokopy tvoria krivku.

Hranica skorého uplatnenia

Krivka v rovine (čas, cena), ktorá oddeľuje oblasť, kde je optimálne opciu držať, od oblasti, kde je optimálne ju uplatniť.

Pre predajnú opciu leží pod realizačnou cenou a s blížiacou sa expiráciou k nej stúpa.

Pozrite sa na ňu.

Option type

Put

Call

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€110.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Risk-free rate r

05.0%0.2

Tree steps

20200400

European versus American

American

€15.63

European (same tree)

€14.66

Early-exercise premium: €0.96
European by formula: €14.66
Immediate exercise: €10.00

The early-exercise boundary

The exercise boundary at selected times
Time	Boundary
0.065	€75.90
0.18	€77.53
0.295	€79.19
0.41	€80.89
0.525	€82.62
0.64	€84.39
0.755	€86.20
0.87	€91.86
0.985	€102.14

Exercise boundary
Strike price
Price today

For a put the boundary exists. Below it exercising wins, above it holding does. Notice that it rises towards the strike as expiry approaches: the less time is left, the less there is to wait for.

How to read it

Čo vyskúšať:

Prepnite na kúpnu opciu. Hranica zmizne a prémia padne presne na nulu. To je tvrdenie z predchádzajúcej sekcie, overené výpočtom.
Zvyšujte sadzbu. Hranica sa dvíha: peniaze z uplatnenia ležia dlhšie na úroku, takže sa uplatniť oplatí skôr.
Zvyšujte volatilitu. Hranica klesá. Pri kolísavej akcii je čakanie cennejšie, lebo sa ešte veľa môže stať.
Posuňte cenu akcie hlboko pod realizačnú. Americká cena sa priblíži k vnútornej hodnote, lebo optimálne je uplatniť hneď.

Exotické opcie

Americká opcia menila kedy sa dá uplatniť. Exotické opcie menia čo sa vypláca.

Spoločné majú jedno: skoro všetky sú závislé od cesty. Výplata nezávisí len od koncovej ceny, ale od toho, kadiaľ sa k nej prišlo.

Digitálne opcie

Digitálna (binárna) opcia

Cash-or-nothing vyplatí pevnú sumu, ak opcia skončí v peniazoch, inak nič.

Asset-or-nothing vyplatí jednu akciu, ak opcia skončí v peniazoch, inak nič.

Toto sú jediné exotické opcie, ktoré uzavretý vzorec majú, a poznáme ho už z desiatej kapitoly:

\text{cash-or-nothing} = e^{-rT}N(d_2), \qquad \text{asset-or-nothing} = S_0N(d_1)

za jedno euro, respektíve jednu akciu výplaty. Ich rozdiel je bežná kúpna opcia.

Digitálna opcia je teda čistá stávka na pravdepodobnosť. Práve preto je jej cena tak priamo interpretovateľná.

Bariérové opcie

Bariérová opcia

Opcia, ktorá zanikne alebo sa aktivuje, keď cena podkladu dosiahne určenú hranicu.

Typ	Bariéra	Čo sa stane
Up-and-out	nad cenou	zanikne pri dosiahnutí
Down-and-out	pod cenou	zanikne pri dosiahnutí
Up-and-in	nad cenou	aktivuje sa pri dosiahnutí
Down-and-in	pod cenou	aktivuje sa pri dosiahnutí

Užitočná identita, ktorú si každý bariérový obchodník kontroluje:

\text{knock-in} + \text{knock-out} = \text{bežná opcia}

Presne jedna z nich totiž prežije: buď sa bariéra dosiahla, alebo nie. Kto drží obe, drží vanillu.

Načo to komu je. Bariérová opcia je lacnejšia než bežná, lebo poskytuje menej. Kupuje ju ten, kto si myslí, že bariéra dosiahnutá nebude, a nechce za tú možnosť platiť.

Ázijské opcie

Ázijská opcia

Výplata závisí od priemernej ceny za obdobie, nie od koncovej:

\max\left(\bar{S} - K,\, 0\right), \qquad \bar{S} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} S_{t_i}

Priemer môže byť aritmetický (bežnejší) alebo geometrický (má uzavretý vzorec).

Druhý dôvod je odolnosť voči manipulácii: cenu v jeden deň sa dá ovplyvniť, ročný priemer nie.

Lookback opcie

Lookback opcia

Výplata závisí od maxima alebo minima ceny počas života opcie.

Pevná realizačná cena: $\max(S_{\max} - K, 0)$ pre kúpnu.

Plávajúca realizačná cena: $S_T - S_{\min}$ pre kúpnu, teda realizačnou cenou je samotné minimum.

Plávajúca verzia je ešte drastickejšia: vždy skončí v peniazoch, lebo koncová cena nemôže byť pod minimom. Kupuje sa za to, čo je v podstate cena dokonalého načasovania.

Interaktívne: všetky na jednej ceste

Contract

Dies if the price ever touches the upper barrier. Cheaper than the vanilla.

Type

Call

Put

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Barrier

40€130.00220

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Observations per path

10100250

Number of simulations

500400020000

This particular path
Terminal price	€136.02
Maximum	€152.87
Minimum	€96.51
Payoff of this contract	€0.00

K: €100.00
barrier: €130.00

This particular path

Terminal price: €136.02
Maximum: €152.87
Minimum: €96.51
Payoff of this contract: €0.00
Barrier touched: yes

Price of the contract

Simulated price: €1.91
95 % interval: €1.75 – €2.06
Share of paths paying anything: 18.6%
Vanilla by formula: €14.23

For a European option the closed form sits beside the simulation. When those two agree, the estimates for contracts that have no closed form are worth something.

Čo vyskúšať:

Nechajte bariérovú up-and-out a posúvajte bariéru. Pri vysokej bariére sa cena blíži k bežnej opcii, pri nízkej ide k nule.
Prepnite na up-and-in a sčítajte obe ceny. Súčet je bežná opcia, na haliere.
Prepnite na ázijskú. Cena spadne zhruba na polovicu bežnej. To je efekt priemerovania.
Prepnite na lookback. Cena vyskočí takmer dvojnásobne oproti bežnej.
Zvyšujte počet pozorovaní na dráhu pri bariérovej opcii a sledujte, ako sa cena knock-out mierne znižuje. Jemnejšie sledovanie zachytí viac prekročení bariéry.

Časté nedorozumenia

Americká opcia nie je „lepšia" investícia.

Je len drahšia o cenu práva, ktoré poskytuje navyše. Na trhu sa obe predávajú za to, čo stoja.

Skoré uplatnenie nie je to isté ako predaj opcie.

Uplatnenie znamená vykonať zmluvu. Predaj znamená postúpiť ju niekomu inému, a pri kúpnej opcii na akciu bez dividend je vždy výhodnejší.

Exotická neznamená vzácna.

Nižšia cena neznamená lepší obchod.

Bariérová opcia je lacnejšia, lebo môže zaniknúť práve vtedy, keď by bola najužitočnejšia. Kto ju kupuje len preto, že je lacná, kupuje si menej ochrany bez toho, aby si to uvedomil.

Simulácia nie je presnejšia než strom.

Je len použiteľná tam, kde strom nie je. Šestnásta kapitola ukazuje, že pri európskej opcii je strom rýchlejší aj presnejší.

Cvičenia

Exercise

Quick check: čo je drahšie

Zadajte poradové číslo bežnej opcie v tomto zoradení.

Poradie bežnej opcie

Exercise

Quick check: knock-in plus knock-out

Bežná kúpna opcia stojí 14,23 €. Up-and-out opcia s bariérou 130 € stojí 1,86 €.

Koľko stojí up-and-in opcia s tou istou bariérou?

Cena up-and-in

€

Exercise

Quick check: prečo sa kúpna neuplatňuje skôr

Akcia stojí 150 €, realizačná cena americkej kúpnej opcie je 100 €, sadzba 5 %, do expirácie rok. Akcia nevypláca dividendy.

Koľko by prinieslo okamžité uplatnenie a aká je dolná hranica hodnoty živej opcie?

Uplatnenie prinesie

€

Dolná hranica hodnoty

€

Exercise

Kedy sa oplatí uplatniť skôr

V dolnom uzle po prvom roku (akcia na 80 €) porovnajte hodnotu držania s okamžitým uplatnením.

Hodnota držania

€

Hodnota uplatnenia

€

Exercise

Prémia za právo uplatniť skôr

Rovnaký strom. Európska predajná opcia stojí 15,59 €.

Spočítajte cenu americkej opcie a rozdiel medzi nimi.

Cena americkej opcie

€

Prémia za skoré uplatnenie

€

Exercise

Hlboko v peniazoch

Akcia stojí 60 €, realizačná cena predajnej opcie je 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok do expirácie.

Európska verzia stojí 35,73 €. Americká stojí 40,00 €.

Aká je vnútorná hodnota a aká prémia za skoré uplatnenie? A prečo je americká cena presne rovná vnútornej hodnote?

Vnútorná hodnota

€

Prémia

€

Exercise

Digitálna opcia

Akcia 100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok do expirácie. Vieme, že $N(d_2) = 0{,}5066$ .

Koľko stojí digitálna opcia, ktorá vyplatí 1 000 € pri skončení nad realizačnou cenou?

Cena digitálnej opcie

€

Exercise

Výplaty na jednej ceste

Akcia začala na 100 € a jej cena bola postupne 100, 120, 90, 110 a 105 €. Realizačná cena je vo všetkých prípadoch 100 €.

Spočítajte výplatu bežnej kúpnej opcie, ázijskej (aritmetický priemer), lookbacku s pevnou realizačnou cenou a up-and-out opcie s bariérou 115 €.

Bežná

€

Ázijská

€

Lookback

€

Up-and-out

€

Exercise

Challenge: prečo je ázijská opcia lacnejšia

O koľko percent je ázijská lacnejšia a lookback drahší než bežná? A prečo priemerovanie znižuje cenu?

Ázijská je lacnejšia o %

Lookback je drahší o %

Čo si zapamätať

Americká opcia sa dá uplatniť kedykoľvek, a preto nikdy nestojí menej než európska. Rozdiel je prémia za skoré uplatnenie.
Kúpnu opciu na akciu bez dividend sa nikdy neoplatí uplatniť skôr, lebo živá opcia stojí aspoň $S - Ke^{-rT} > S - K$ .
Predajnú sa oplatiť môže, lebo uplatnením sa realizačná cena získava, nie platí, a môže ležať na úroku.
Strom rieši americkú opciu jedným max navyše v každom uzle: väčšia z hodnoty držania a hodnoty uplatnenia.
Hranica skorého uplatnenia je krivka, nie číslo. Závisí od ceny aj od času, stúpa s klesajúcim časom a so sadzbou, klesá s volatilitou.
Exotické opcie sú väčšinou závislé od cesty, a to rozbíja spájanie stromu. Vtedy nastupuje simulácia.
Knock-in plus knock-out je bežná opcia. Presne jedna z nich prežije.
Ázijská je lacnejšia (priemer kolíše menej), lookback drahší (maximum je vždy aspoň koncová cena), digitálna je čistá stávka na pravdepodobnosť.
Uzavretý vzorec majú z exotických opcií len digitálne a ázijská s geometrickým priemerom. Zvyšok potrebuje strom alebo simuláciu.

Chapters

← Course overview