Riziko-neutrálna miera

Problém

Tretia kapitola opciu ocenila, ale postup bol zdĺhavý: pre každý derivát treba vyriešiť sústavu dvoch rovníc a zložiť portfólio. Pri stromoch s desiatkami uzlov by to bolo neúnosné.

A je tu druhá, hlbšia otázka.

Predstavte si dvoch investorov nad tou istou akciou. Jana si myslí, že pravdepodobnosť rastu je 70 %. Peter, s rovnakými dátami a iným úsudkom, tvrdí 40 %.

Ich odhady očakávanej výplaty opcie sa zásadne líšia:

Napriek tomu obaja vidia na burze jednu cenu, a v tretej kapitole sme ju spočítali na 23,08 € bez toho, aby sme sa niekoho pýtali na názor.

Ako je to možné? A dá sa to počítanie skrátiť?

Dve miery

Fyzická (skutočná) miera P

Pravdepodobnosti, s ktorými sa veci naozaj dejú, alebo aspoň to, čo si o nich myslíme. Odhadujú sa z dát alebo z úsudku a dvaja ľudia sa na nich nemusia zhodnúť.

Riziko-neutrálna miera Q

Umelé váhy, pri ktorých každé aktívum v priemere rastie bezrizikovou sadzbou. Nie sú predpoveďou; sú nástrojom na oceňovanie, ktorý je konzistentný s bezarbitrážnym princípom.

Odvodenie váhy q

Hľadáme číslo $q$ také, aby akcia pod ním v priemere rástla presne bezrizikovou sadzbou. Formálne:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1] = S_0(1+r)$$

Krok 1: rozpíšeme strednú hodnotu. Akcia môže skončiť na dvoch miestach, tak stredná hodnota je vážený priemer:

$$q\,S_u + (1-q)\,S_d = S_0(1+r)$$

Krok 2: dosadíme $S_u = uS_0$ a $S_d = dS_0$.

$$q\,uS_0 + (1-q)\,dS_0 = S_0(1+r)$$

Krok 3: vydelíme $S_0$. Smieme, lebo cena akcie je kladná, a všimnite si, čo to znamená: $q$ nezávisí od ceny akcie, len od faktorov a sadzby.

$$qu + (1-q)d = 1+r$$

Krok 4: roznásobíme a zoskupíme členy s $q$.

$$qu + d - qd = 1+r \qquad\Longrightarrow\qquad q(u - d) = 1 + r - d$$

Krok 5: vydelíme $(u-d)$, čo je nenulové, lebo stavy sú dva rôzne:

$$\boxed{\ q = \frac{(1+r) - d}{u - d}\ }$$

Pri našich číslach ($u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$):

$$q = \frac{1{,}04 - 0{,}8}{1{,}2 - 0{,}8} = \frac{0{,}24}{0{,}4} = 0{,}6$$

Kedy je q pravdepodobnosťou

Aby bolo $q$ medzi nulou a jednotkou, musí platiť $d < 1+r < u$, teda presne bezarbitrážna podmienka z tretej kapitoly. To nie je náhoda: model je bezarbitrážny práve vtedy, keď takáto miera existuje. Šiesta kapitola z toho spraví vetu.

Oceňovanie cez očakávanú výplatu

Keď máme $q$, cena derivátu je jednoducho diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$:

$$\boxed{\ C_0 = \frac{1}{1+r}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[C_1] = \frac{q\,C_u + (1-q)\,C_d}{1+r}\ }$$

Tri kroky, žiadna sústava rovníc:

1. Spočítaj $q$ z $u$, $d$ a $r$.
2. Zváž výplaty touto váhou.
3. Diskontuj bezrizikovou sadzbou.

Diskontuje sa bezrizikovou sadzbou, a to je tá pointa: pod mierou $\mathbb{Q}$ už v očakávanej výplate nie je žiadna riziková prémia, ktorú by bolo treba kompenzovať vyšším diskontom.

Obe metódy, jeden výsledok

Zoberme presne ten istý príklad ako v tretej kapitole: $S_0 = 200$ €, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$, $K = 200$ €.

Prečo to vychádza rovnako

Dá sa to ukázať priamo. Z tretej kapitoly:

$$C_0 = \Delta S_0 + \frac{C_u - \Delta S_u}{1+r} \qquad\text{kde}\qquad \Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}$$

Ak do toho dosadíte $S_u = uS_0$, $S_d = dS_0$ a pozbierate členy pri $C_u$ a $C_d$, koeficienty vyjdú presne $\frac{q}{1+r}$ a $\frac{1-q}{1+r}$ s tým $q$, ktoré sme odvodili vyššie. Algebra je zdĺhavá, ale nič v nej nie je prekvapivé, a interaktívny nástroj nižšie ukazuje tú rovnosť pri každom nastavení parametrov.

Interaktívne: P proti Q

Prvý posuvník je váš názor na trh. Sledujte, čo sa stane s pravým stĺpcom a s cenou opcie, keď ním pohnete.

What you believe

Real probability of an up move p

170.00%99

This is your estimate. The model does not need it to price.

Share price today S₀

50€200.00400

Strike price K

50€200.00400

Up factor u

1.051.21.8

Down factor d

0.50.80.95

Risk-free rate r

04.00%15

Quantity	Under P (reality)	Under Q (pricing)
Probability of an up move	70.00%	60.00%
Expected share price	€216.00	€208.00
Expected return on the share	8.00%	4.00%
Expected option payoff	€28.00	€24.00
Discounted expected payoff	€26.92	€23.08

Option price

€23.08

Independent of p. Try moving the first slider.

What to look for

The left column moves with your opinion; the right one does not. The option price always comes from the right column, which is why two investors who agree on nothing else must still agree on the price.

Čo si vyskúšať:

1. Posuňte $p$ od 1 % po 99 %. Ľavý stĺpec sa hýbe divoko: očakávaný výnos akcie skáče, očakávaná výplata opcie tiež. Cena opcie sa nepohne ani o cent.
2. Teraz posuňte sadzbu. Cena sa zmení okamžite, lebo $q$ závisí od $r$, kým od $p$ nie.
3. Posuňte $u$ alebo $d$. Cena sa zmení tiež: rozsah možných výplat je vecou modelu, nie názoru.

To, čo cenu určuje, sú teda pozorovateľné veličiny: ceny, sadzba, rozsah pohybu. To, čo ju neurčuje, je názor.

Časté nedorozumenia

Cvičenia

Exercise

Quick check: od čoho q závisí

Akcia stojí 50 €, faktory sú $u = 1{,}25$ a $d = 0{,}80$, sadzba 6 %.

Spočítajte $q$. Potom odpovedzte: zmení sa $q$, ak sa cena akcie zmení na 500 €? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie.

Riziko-neutrálna pravdepodobnosť q

Závisí q od ceny akcie? (1/0)

Check

Exercise

Quick check: čo je q a čo nie je

V modeli vyšlo $q = 0{,}6$, zatiaľ čo z historických dát vyplýva, že akcia rástla v 45 % období.

Aká je riziko-neutrálna pravdepodobnosť, ktorú použijete na ocenenie opcie? A aká je skutočná pravdepodobnosť rastu podľa dát?

Na ocenenie použijem

Skutočná pravdepodobnosť

Check

Exercise

Ocenenie oboma spôsobmi

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 130 € alebo 80 €, sadzba je 5 %. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

Oceňte ju riziko-neutrálne a porovnajte s replikáciou z tretej kapitoly (tam vyšlo 14,29 €).

q

Očakávaná výplata pod Q

€

Cena opcie

€

Check

Exercise

Dvaja investori, jedna cena

Na tom istom modeli (akcia 100 €, stavy 130 a 80 €, sadzba 5 %) Jana verí, že $p = 0{,}75$, a Peter, že $p = 0{,}30$.

Spočítajte, akú očakávanú výplatu vidí každý z nich pod svojou vierou, a akú cenu opcie dostane každý z nich riziko-neutrálnym oceňovaním.

Očakávaná výplata podľa Jany

€

Očakávaná výplata podľa Petra

€

Cena opcie pre oboch

€

Check

Exercise

Predajná opcia a kontrola paritou

Rovnaký model. Oceňte teraz predajnú opciu s realizačnou cenou 100 € a overte put-call paritu.

Cena predajnej opcie

€

C − P

€

Check

Exercise

Challenge: keď je q mimo intervalu

Akcia stojí 100 €, o obdobie bude 106 € alebo 99 €. Bezriziková sadzba je 8 %.

Spočítajte $q$, rozhodnite, čo z toho vyplýva, a zostavte arbitrážnu stratégiu. Aký je istý zisk na jednu akciu?

Vypočítané q

Istý zisk na akciu

€

Check

Čo si zapamätať

1. Fyzická miera $\mathbb{P}$ je to, čo si myslíte; riziko-neutrálna $\mathbb{Q}$ je nástroj na oceňovanie. Sú to dve rôzne veci a nemajú dôvod sa zhodovať.
2. $q = \frac{(1+r)-d}{u-d}$ je jediná váha, pri ktorej akcia v priemere rastie bezrizikovou sadzbou.
3. $q$ nezávisí od ceny akcie ani od ničieho názoru, len od $u$, $d$ a $r$.
4. Cena derivátu je diskontovaná očakávaná výplata pod $\mathbb{Q}$: $C_0 = \frac{qC_u + (1-q)C_d}{1+r}$.
5. Replikácia a riziko-neutrálne oceňovanie dávajú vždy tú istú cenu. Je to jedna veta v dvoch zápisoch, nie dva nezávislé postupy.
6. Diskontuje sa bezrizikovou sadzbou, lebo pod $\mathbb{Q}$ už v očakávanej výplate nie je riziková prémia.
7. $q$ mimo intervalu $(0,1)$ znamená arbitráž, nie chybu výpočtu. Bezarbitrážna podmienka a existencia $q$ sú to isté tvrdenie.
8. Averzia k riziku je započítaná v cene podkladu, ktorú model berie z trhu. Preto sa vo vzorci pre derivát už neobjaví.