Bezarbitrážny princíp a forwardová cena

Problém

Akcia sa dnes obchoduje za 100 €. Chcete ju vlastniť o rok. Máte dve možnosti:

A: kúpiť ju dnes za 100 € a rok držať. B: dohodnúť si dnes forward, pri ktorom ju o rok kúpite za cenu $F$ dohodnutú už teraz.

Otázka: aké $F$ je férové?

Prvá intuícia väčšiny ľudí je, že $F$ by malo odrážať očakávaný vývoj ceny. Kto verí v rast, chce nízke $F$; kto čaká pokles, pristúpi len na nízke $F$. Vyzeralo by to tak, že férová cena je niekde medzi ich odhadmi.

Táto intuícia je nesprávna, a práve to je najdôležitejší poznatok celej kapitoly. Férové $F$ sa dá určiť presne, bez toho, aby ktokoľvek povedal jediné slovo o tom, kam si myslí, že akcia pôjde.

Bezarbitrážny princíp

Arbitráž

Stratégia, ktorá dnes nič nestojí, nikdy nemôže skončiť stratou a aspoň v jednom scenári skončí ziskom. Bezrizikový zisk z ničoho.

Predpoklad, na ktorom stojí celý zvyšok kurzu, znie: arbitráž na trhu neexistuje.

Nie preto, že by trhy boli dokonalé alebo účastníci neomylní. Ale preto, že keby taká príležitosť existovala, niekto ju využije, a využívaním ju zlikviduje. Nákupy tlačia lacnú stranu hore, predaje drahú dole, a nesúlad zmizne.

Priamym dôsledkom je zákon jednej ceny:

Dve veci, ktoré majú za všetkých okolností rovnakú budúcu výplatu, musia mať rovnakú dnešnú cenu.

Jednoduchý príklad arbitráže

Tá istá akcia sa v Bratislave obchoduje za 100 € a vo Viedni za 101 €. Prevod je bez poplatkov.

Kúpim v Bratislave, predám vo Viedni, inkasujem 1 €. Nič som neriskoval a nič nevložil, pozíciu som otvoril aj zavrel v tej istej sekunde.

Ak to urobím raz, zarobím euro. Ak to urobí tisíc obchodníkov s tisíckou akcií, nákupy v Bratislave cenu zdvihnú a predaje vo Viedni ju stlačia, kým sa ceny nestretnú. Arbitráž zaniká tým, že sa využíva.

Cash-and-carry: odvodenie forwardovej ceny

Vráťme sa k pôvodnej otázke. Postupujme presne po krokoch.

Krok 1: postavme stratégiu, ktorá dnes nič nestojí

Chceme portfólio, ktoré má dnes nulovú hodnotu. Zložíme ho z troch krokov naraz:

1. Požičiam si $S_0$ eur na rok pri sadzbe $r$.
2. Kúpim za ne akciu.
3. Predám forward na tú istú akciu s dodaním o rok za cenu $F$.

Dnešný peňažný tok: $+S_0$ (pôžička) $-S_0$ (nákup akcie) $+0$ (uzavretie forwardu nič nestojí) $= 0$.

Krok 2: čo sa stane o rok

O rok mám povinnosť z forwardu dodať akciu, a tú akciu držím. Takže:

• dodám akciu a inkasujem dohodnuté $F$;
• splatím pôžičku, ktorá narástla na $S_0e^{rT}$.

Peňažný tok pri expirácii: $F - S_0e^{rT}$.

Krok 3: tabuľka peňažných tokov

Toto je jadro dôkazu a oplatí sa ho vidieť naraz:

Krok 4: záver z bezarbitrážneho princípu

Všimnite si, čo v poslednom stĺpci nie je: cena akcie o rok. Nech skončí kdekoľvek, výsledok je $F - S_0e^{rT}$, číslo známe už dnes.

Stratégia teda nič nestojí a je bezriziková. Keby bola jej výplata kladná, bola by to arbitráž. A tú sme vylúčili, takže:

$$F - S_0e^{rT} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{F_0 = S_0\,e^{rT}}$$

Čo v tom vzorci znamená každý symbol

Ekonomicky: forwardová cena je dnešná cena plus cena peňazí za čas držania. Kto akciu drží rok, viaže v nej kapitál, ktorý by inak zarábal bezrizikový úrok. Forwardová cena mu to kompenzuje.

Predpoklady, ktoré sme mlčky použili

Odvodenie je pekné, ale stojí na štyroch veciach, ktoré v praxi nie vždy platia:

• dá sa požičať aj uložiť za rovnakú sadzbu $r$;
• akcia sa dá kúpiť aj predať nakrátko bez obmedzení;
• žiadne transakčné náklady ani dane;
• držanie akcie nič nestojí a nič nevynáša (k druhej časti sa vrátime nižšie).

Keď niektorý predpoklad neplatí, rovnosť sa zmení na pásmo cien, v ktorom arbitráž nie je zisková. Preto sa v praxi forwardy obchodujú v úzkom rozpätí okolo teoretickej hodnoty, nie presne na nej.

Reverse cash-and-carry

Odvodenie ukázalo, čo sa stane, keď je forward príliš drahý. Čo ak je príliš lacný?

Vtedy sa celá stratégia otočí:

Akciu si požičiam, predám a peniaze uložím. O rok kúpim akciu späť za dohodnuté $F$ z forwardu, vrátim ju pôvodnému majiteľovi a rozdiel si nechám.

Zhrnutie oboch smerov:

Práve preto je rovnosť rovnosťou, nie nerovnosťou: odchýlka na ktorúkoľvek stranu má svoju arbitrážnu stratégiu.

Forwardová cena verzus hodnota kontraktu

Toto rozlíšenie je zdrojom väčšiny nedorozumení okolo forwardov, tak ho vezmime pomaly.

Forwardová cena F₀

Dodacia cena, pri ktorej má nový kontrakt dnes nulovú hodnotu. Mení sa každý deň spolu so spotovou cenou a sadzbou.

Hodnota kontraktu f

Koľko je už uzavretý kontrakt dnes pre svojho držiteľa hodný. Pri podpise je nulová, potom sa mení.

Prečo je pri podpise nulová: dodacia cena sa nastaví práve na $F_0$, teda tak, aby ani jedna strana druhej nič neplatila. Forward je preto „zadarmo", na rozdiel od opcie, kde je asymetria a platí sa prémia.

Keď sa potom spot pohne, kontrakt už znie na cenu, ktorá nie je aktuálna, a jedna strana drží niečo hodnotné:

$$f = (F_{\text{nová}} - K)\,e^{-r(T-t)}$$

kde $K$ je dodacia cena zapísaná v starej zmluve a $F_{\text{nová}}$ je forwardová cena, ktorú by ste dostali dnes na zvyšnú dobu. Slovami: rozdiel medzi tým, čo ste sa zaviazali zaplatiť, a tým, na čom by ste sa dohodli dnes, diskontovaný na dnešok.

Kontrakt, ktorý nadobudol hodnotu

V januári ste uzavreli ročný forward na akciu. Spot bol 100 €, sadzba 4 %, takže dodacia cena je $K = 100 \cdot e^{0{,}04} = 104{,}08$ €. Hodnota kontraktu bola v ten deň nula.

O pol roka akcia stúpla na 110 €. Sadzba sa nezmenila, do dodania ostáva pol roka.

Forwardová cena na zvyšné pol roka je $110 \cdot e^{0{,}04 \cdot 0{,}5} = 112{,}22$ €.

$$f = (112{,}22 - 104{,}08) \cdot e^{-0{,}02} = 8{,}14 \cdot 0{,}9802 = 7{,}98\ \text{€}$$

Váš kontrakt má hodnotu 7,98 €: zaviazali ste sa kúpiť za 104,08 niečo, za čo by ste sa dnes zaviazali platiť 112,22.

Druhá strana má presne opačnú pozíciu, teda $-7{,}98$ €. Súčet je nula: kontrakt hodnotu nevytvára, len ju presúva.

Aktíva, ktoré niečo vynášajú

Odvodenie predpokladalo, že držanie akcie nič nevynáša. Čo ak akcia platí dividendu?

Intuícia najprv. Arbitražér, ktorý akciu rok drží, tú dividendu inkasuje. Má teda príjem navyše, a preto si môže dovoliť predať forward lacnejšie a stále byť na nule. Dividenda znižuje forwardovú cenu.

Známy príjem

Ak sú dividendy známe dopredu a ich súčasná hodnota je $I$, vstupný náklad stratégie je fakticky nižší o $I$:

$$F_0 = (S_0 - I)\,e^{rT}$$

Odvodenie je totožné, len v tabuľke peňažných tokov pribudne riadok „inkasujem dividendu" a pôžičku si vezmem len na $S_0 - I$, lebo zvyšok splatím z nej.

Spojitý dividendový výnos

Pri indexe alebo mene je praktickejšie modelovať príjem ako spojitú mieru $q$:

$$F_0 = S_0\,e^{(r-q)T}$$

Výraz $r - q$ sa volá cost of carry: čistý náklad držania. Ak $q > r$, je záporný a forwardová cena je nižšia než spot.

Forward pricing calculator

Posúvajte parametre a sledujte, čo robia s cenou aj s celou krivkou.

The underlying

Pays nothing

Continuous dividend yield

Known income (dividend, coupon)

Spot price S₀

10€100.00500

Risk-free rate r

04.00%12

Time to delivery T

0.251 yrs5

Forward price F₀

€104.08

€4.08 above spot

The calculation, step by step

1. r − q = 4.00% − 0.00% = 4.00%
2. (r − q)·T = 4.00% · 1 = 0.04
3. e^(0.04) = 1.04081
4. F₀ = €100.00 · 1.04081 = €104.08

Forward price at various times to delivery

Time to delivery (years)	Forward price
0	€100.00
0.25	€101.01
0.5	€102.02
0.75	€103.05
1	€104.08

What to look for

The curve starts exactly at the spot price and departs from it the further out delivery is. Raise the rate and it climbs; raise the dividend yield above the rate and it drops below spot. It is not a forecast of the price; it is the cost of carrying the asset.

Čo si vyskúšať:

1. Zvýšte sadzbu. Krivka sa zdvihne: dlhšie držanie znamená viac zaviazaného kapitálu.
2. Prepnite na dividendový výnos a zdvihnite ho nad sadzbu. Krivka klesne pod spot. Nič sa nezhoršilo, len sa držiteľovi platí za držanie.
3. Sledujte začiatok krivky. Pri nulovom čase do dodania je forwardová cena vždy presne rovná spotu. Táto konvergencia je dôvod, prečo forwardová cena nie je predpoveď: v okamihu dodania sa ním stáva samotná spotová cena.

Put-call parita

Rovnaká úvaha viaže aj ceny opcií. Portfólio „call short, put long, akcia long" má pri expirácii vždy hodnotu presne $K$:

• ak $S_T > K$: call uplatní protistrana, akciu odovzdám za $K$, put je bezcenný;
• ak $S_T < K$: uplatním put a predám akciu za $K$, call je bezcenný.

Istá výplata $K$ má dnes hodnotu $Ke^{-rT}$, a odtiaľ:

$$C - P = S_0 - K e^{-rT}$$

Platí bez ohľadu na model, je to účtovná identita medzi štyrmi cenami. Keď poznáte tri, štvrtá je určená.

Cvičenia

Exercise

Kontrolné otázky

Akcia stojí 200 €, bezriziková sadzba je 3 % a forward má expiráciu o rok.

Aká je férová forwardová cena a akú hodnotu má kontrakt v okamihu podpisu?

Forwardová cena

€

Hodnota kontraktu pri podpise

€

Check

Exercise

Férová forwardová cena

Akcia sa obchoduje za 250 €, bezriziková sadzba je 4 % ročne (spojito úročená) a forward má expiráciu o pol roka.

Aká je férová forwardová cena?

Forwardová cena F

€

Check

Exercise

Arbitráž na drahom forwarde

Trh kótuje ten istý polročný forward na 260 € namiesto férových 255,05 €.

Zostavte stratégiu a spočítajte, koľko na nej bezrizikovo zarobíte na jednu akciu.

Bezrizikový zisk pri expirácii

€

Check

Exercise

Arbitráž na lacnom forwarde

Tá istá akcia za 250 €, sadzba 4 %, pol roka do dodania. Teraz trh kótuje forward na 250 €.

Ktorá stratégia je zisková a koľko na nej zarobíte?

Bezrizikový zisk pri expirácii

€

Check

Exercise

Akcia s dividendou

Akcia stojí 100 €, bezriziková sadzba je 5 %, dividendový výnos 3 % a forward má dodanie o dva roky.

Aká je forwardová cena? A o koľko je nižšia než pri akcii bez dividendy?

Forwardová cena s dividendou

€

Forwardová cena bez dividendy

€

Check

Exercise

Hodnota staršieho kontraktu

V januári ste uzavreli ročný forward na nákup akcie. Spot bol vtedy 100 € a sadzba 4 %, takže dodacia cena je 104,08 €.

O pol roka akcia stojí 110 €, sadzba je stále 4 % a do dodania ostáva pol roka. Akú hodnotu má váš kontrakt teraz?

Forwardová cena na zvyšný polrok

€

Hodnota kontraktu

€

Check

Exercise

Challenge: implikovaná sadzba a arbitráž s nákladmi

Akcia stojí 80 €, ročný forward sa na trhu kótuje za 84 €. Bezriziková sadzba je 3 %.

Spočítajte, akú sadzbu forwardová cena implikuje, aký by bol hrubý arbitrážny zisk, a rozhodnite, či sa oplatí obchodovať pri transakčných nákladoch 1,20 € na jednu akciu.

Implikovaná sadzba

%

Férová forwardová cena

€

Zisk po nákladoch

€

Check

Čo si zapamätať

1. Arbitráž je bezrizikový zisk z ničoho a predpoklad jej neexistencie je základ celého oceňovania. Nie je to tvrdenie o dokonalosti trhov, ale o tom, že nekonzistencia sa využitím zlikviduje.
2. Zákon jednej ceny: dve veci s rovnakou budúcou výplatou musia stáť rovnako dnes.
3. Forwardová cena $F_0 = S_0e^{rT}$ vyplýva z cash-and-carry a neobsahuje žiadnu pravdepodobnosť. Je to výrok o nákladoch držania, nie predpoveď ceny.
4. Odchýlka na obe strany má svoju stratégiu: drahý forward sa predáva (cash-and-carry), lacný sa kupuje (reverse). Preto je podmienka rovnosťou.
5. Forwardová cena a hodnota kontraktu sú dve rôzne veci. Cena je dodacia hodnota pre nový kontrakt a mení sa denne; hodnota je to, čo je už uzavretý kontrakt hodný, a pri podpise je nulová.
6. Príjem z podkladu znižuje forwardovú cenu: $F_0 = (S_0 - I)e^{rT}$ pri známych dividendách, $F_0 = S_0e^{(r-q)T}$ pri spojitom výnose. Ak $q > r$, forward je pod spotom.
7. Put-call parita $C - P = S_0 - Ke^{-rT}$ je tá istá úvaha aplikovaná na opcie a platí bez akéhokoľvek modelu.
8. Predpoklady odvodenia (jedna sadzba, možnosť krátkeho predaja, žiadne náklady) v praxi neplatia presne, takže rovnosť sa mení na úzke pásmo okolo teoretickej ceny.