Viackrokový strom a spätná indukcia

Problém

Jednokrokový model má jednu neodstrániteľnú chybu: pripúšťa presne dva konce sveta. Skutočná akcia môže o rok skončiť kdekoľvek, a cestou sa hýbe každý deň.

Riešenie je prekvapivo lacné. Nemusíme model prerábať, stačí ho zopakovať. Rozdelíme rok na dve obdobia, potom na štyri, potom na sto. V každom jednotlivom kroku sa akcia stále hýbe len dvoma spôsobmi, ale koncov je $n+1$ a cesta k nim je bohatšia.

A čo je dôležitejšie: oceňovacia úvaha sa nemení ani o písmeno. V každom uzle stále platí to, čo v tretej a štvrtej kapitole.

Dvojkrokový strom

Po prvom kroku je akcia na $uS_0$ alebo $dS_0$. Po druhom môže byť na:

$$u^2S_0, \qquad udS_0, \qquad d^2S_0$$

Prostredná hodnota vznikne dvoma cestami: rast a potom pokles, alebo pokles a potom rast. A keďže násobenie je komutatívne:

$$S_{ud} = u \cdot d \cdot S_0 = d \cdot u \cdot S_0 = S_{du}$$

Obe cesty končia na tom istom mieste. Strom sa spája (recombining tree).

Spätná indukcia

Ako oceniť opciu na takom strome? Odpoveď je v jednej vete: začneme na konci, kde hodnotu poznáme, a vraciame sa.

Krok 1. Na poslednej vrstve nie je čo modelovať, hodnota opcie je jej výplata:

$$C_n = \max(S_n - K,\,0)$$

Krok 2. V ktoromkoľvek uzle o vrstvu skôr stojíme presne pred úlohou z tretej kapitoly: jeden krok, dva možné konce, ktorých hodnoty už poznáme. Použijeme teda ten istý vzorec:

$$C_t = \frac{q\,C_{t+1}^{u} + (1-q)\,C_{t+1}^{d}}{1+r}$$

Krok 3. Zopakujeme to pre celú vrstvu, potom pre predchádzajúcu, a tak ďalej až do času 0.

To je celý algoritmus. Nie je v ňom nič, čo by sme už nevedeli, len sa to aplikuje $\frac{n(n+1)}{2}$ krát namiesto raz.

Kompletný príklad

Akcia stojí 200 €, každý krok sa vynásobí 1,2 alebo 0,8, sadzba je 4 % za krok, do expirácie sú dva kroky. Kúpna opcia má realizačnú cenu 200 €.

Riziko-neutrálna váha (zo štvrtej kapitoly, závisí len od $u$, $d$, $r$):

$$q = \frac{1{,}04 - 0{,}8}{1{,}2 - 0{,}8} = 0{,}6$$

Vrstva 2: ceny akcie a výplaty.

Vrstva 1: spätná indukcia.

Horný uzol (akcia na 240 €), z ktorého vedú vetvy na 288 € a 192 €:

$$C_u = \frac{0{,}6 \cdot 88 + 0{,}4 \cdot 0}{1{,}04} = \frac{52{,}8}{1{,}04} = 50{,}77\ \text{€}$$

Dolný uzol (akcia na 160 €), z ktorého vedú vetvy na 192 € a 128 €. Obe výplaty sú nulové, takže:

$$C_d = \frac{0{,}6 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 0}{1{,}04} = 0\ \text{€}$$

Vrstva 0: koreň.

$$C_0 = \frac{0{,}6 \cdot 50{,}77 + 0{,}4 \cdot 0}{1{,}04} = \frac{30{,}46}{1{,}04} = 29{,}29\ \text{€}$$

Kontrola druhou cestou

Ten istý výsledok sa dá dostať aj priamo, bez medzivrstiev: v peniazoch končí jediná cesta (dvakrát hore), ktorej riziko-neutrálna pravdepodobnosť je $q^2$:

$$C_0 = \frac{q^2 \cdot 88}{(1+r)^2} = \frac{0{,}36 \cdot 88}{1{,}0816} = \frac{31{,}68}{1{,}0816} = 29{,}29\ \text{€}$$

Sedí. Sú to dva zápisy toho istého súčtu, spätná indukcia ho len počíta po častiach, čo je pri väčších stromoch jediná schodná cesta.

Interaktívne: spätná indukcia krok po kroku

Strom je najprv prázdny. Tlačidlom odkrývajte vrstvy od expirácie späť a sledujte, ako sa hodnota prepracúva ku koreňu.

Option type

Call

Put

Share price today S₀

50€200.00400

Strike price K

50€200.00400

Up factor u

1.051.21.8

Down factor d

0.50.80.95

Risk-free rate r

04.0%15

Number of steps

125

Option price today

€29.29

Delta at time 0

0.6346

Risk-neutral probability q

60.00%

Backward induction

Reveal one layer at a time, from expiry back to today.

Reveal the next layerOne layer backStart over

Nodes of the binomial tree

Step	Up moves	Share price	Option value
0	0	€200.00	€29.29
1	0	€160.00	€0.00
1	1	€240.00	€50.77
2	0	€128.00	€0.00
2	1	€192.00	€0.00
2	2	€288.00	€88.00

Skúste potom pridať tretí a štvrtý krok. Uzlov pribúda, algoritmus sa nemení.

Kam to smeruje

Čo sa stane, keď krokov bude veľa?

Aby to malo zmysel, musia byť jednotlivé pohyby menšie, inak by hlbší strom znamenal len divokejšiu akciu. Zafixujeme teda kolísavosť za celé obdobie a rozdelíme ju medzi $n$ krokov. Štandardná voľba je

$$u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, \qquad d = \frac{1}{u}, \qquad \Delta t = \frac{T}{n}$$

kde $\sigma$ je ročná volatilita a $T$ dĺžka celého obdobia. Krok je tým menší, čím je ich viac, ale celková neistota za obdobie ostáva rovnaká. Tejto voľbe sa hovorí Cox–Ross–Rubinsteinova kalibrácia.

Nasledujúca tabuľka oceňuje jednu a tú istú opciu (akcia 100 €, realizačná cena 100 €, sadzba 5 % ročne, volatilita 30 %, jeden rok) na stromoch rôznej hĺbky:

How the price settles

The same option priced on trees of growing depth, with u and d rescaled so the tree keeps the same volatility.

Steps	Price
1	€16.96
2	€12.89
3	€15.16
4	€13.52
5	€14.79
10	€13.94
25	€14.34
50	€14.17
100	€14.20

Cena sa ustaľuje okolo 14,23 €. Prvé hodnoty poskakujú, lebo pri jednom či dvoch krokoch je model príliš hrubý a záleží na tom, či realizačná cena náhodou padne medzi dva možné konce, ale od dvadsiatich piatich krokov sa už mení len v haliéroch.

To nie je náhoda a nie je to ani numerická zhoda okolností. Cena akcie po $n$ krokoch je súčin $n$ nezávislých faktorov, takže logaritmus ceny je súčet $n$ nezávislých príspevkov. A o súčtoch mnohých nezávislých príspevkov hovorí centrálna limitná veta: blížia sa k normálnemu rozdeleniu.

Cvičenia

Exercise

Quick check: veľkosť stromu

Strom má šesť krokov.

Koľko má koncových uzlov a koľko uzlov celkovo? A koľko koncov by mal, keby sa nespájal?

Koncových uzlov

Uzlov celkovo

Koncov bez spájania

Check

Exercise

Quick check: prečo sa počíta odzadu

V dvojkrokovom strome poznáte výplaty pri expirácii. Chcete cenu dnes.

Koľko jednokrokových ocenení musíte spraviť? A v ktorom uzle začínate?

Počet jednokrokových ocenení

Check

Exercise

Dvojkrokový strom od začiatku

Akcia stojí 100 €, každý krok sa vynásobí 1,25 alebo 0,80, sadzba je 5 % za krok, dva kroky. Kúpna opcia má realizačnú cenu 100 €.

q

Najvyššia koncová cena

€

Hodnota v hornom uzle vrstvy 1

€

Cena opcie dnes

€

Check

Exercise

Opcia v peniazoch na dvoch miestach

Ten istý strom (akcia 100 €, $u = 1{,}25$, $d = 0{,}80$, $r = 5\ \%$, dva kroky), ale realizačná cena je teraz 90 €.

Teraz sú v peniazoch dva koncové uzly. Spočítajte cenu.

Výplata v prostrednom uzle

€

Cena opcie

€

Check

Exercise

Čo robí s cenou počet krokov

Tá istá opcia ocenená na stromoch rôznej hĺbky dáva 16,96 € pri jednom kroku, 12,89 € pri dvoch, 15,17 € pri troch, 13,52 € pri štyroch a 14,20 € pri sto krokoch.

O koľko sa líši jednokroková cena od stokrokovej? A o koľko štvorkroková?

Rozdiel 1 krok vs 100

€

Rozdiel 4 kroky vs 100

€

Check

Exercise

Challenge: delta sa v strome mení

Akcia stojí 100 €, $u = 1{,}25$, $d = 0{,}80$, $r = 5\ \%$, dva kroky, kúpna opcia s realizačnou cenou 100 €. Z predchádzajúcej úlohy viete, že $C_u = 29{,}76$ € a $C_d = 0$ €.

Spočítajte deltu dnes a deltu v hornom uzle po prvom kroku. Prečo sa líšia?

Delta dnes

Delta v hornom uzle

Check

Čo si zapamätať

1. Viac krokov nemení úvahu, len ju opakuje. V každom uzle platí to isté jednokrokové ocenenie z tretej a štvrtej kapitoly.
2. Strom sa spája, lebo pohyby sú násobenia: $ud = du$. Bez toho by uzlov pribúdalo exponenciálne.
3. Spätná indukcia začína pri expirácii, kde hodnotu určuje zmluva, a vracia sa vrstvu po vrstve k dnešku.
4. $C_t = \frac{qC_{t+1}^u + (1-q)C_{t+1}^d}{1+r}$ je jediný vzorec, ktorý celý algoritmus potrebuje.
5. Pri priamom sčítavaní cez koncové uzly nezabudnite na kombinačné koeficienty: do prostredných uzlov vedie viac ciest.
6. Delta sa mení od uzla k uzlu. Zaistenie treba priebežne upravovať; to je dynamické zaisťovanie.
7. S rastúcim počtom krokov sa cena ustaľuje, pričom hrubé stromy striedavo prestreľujú a podstreľujú.
8. Limitou je spojitý proces. Logaritmus ceny je súčet mnohých nezávislých príspevkov, takže podľa centrálnej limitnej vety smeruje k normálnemu rozdeleniu, a to je téma tretej časti.