Chapter 13 of 17

Gréky a hedžovanie

Cena opcie nie je číslo, ale bod na piatich krivkách naraz: delta, gamma, vega, théta, rho a to, čo z nich robí obchod.

20 minutes

Problém

Dvanásta kapitola skončila číslom. Opcia na akciu za 100 € stojí 14,23 €.

Obchodník, ktorý ju kúpi, si vzápätí položí otázky, na ktoré to číslo neodpovedá:

Čo sa stane, ak akcia stúpne o euro?
Čo ak volatilita vyskočí z 30 % na 33 %?
Čo ak sa nestane nič a len prejde týždeň?
Čo ak centrálna banka zdvihne sadzby?

Cena je snímka. Gréky sú to, čo bude ďalej. Preto sú pre obchodníka dôležitejšie než samotná cena: cena povie, koľko zaplatiť, gréky povedia, čo sa stane potom.

Každý grék je parciálna derivácia ceny podľa jedného vstupu. Nič exotické: je to tá istá cenová funkcia $V(S,t)$ z jedenástej kapitoly, len sa na ňu pozeráme z piatich strán.

Grék	Meria citlivosť na	Symbol
Delta	cenu podkladu	$\Delta = \dfrac{\partial V}{\partial S}$
Gamma	zmenu delty	$\Gamma = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}$
Vega	volatilitu	$\nu = \dfrac{\partial V}{\partial \sigma}$
Théta	plynutie času	$\Theta = \dfrac{\partial V}{\partial t}$
Rho	úrokovú sadzbu	$\rho = \dfrac{\partial V}{\partial r}$

Delta

Delta: $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S} = N(d_1) \quad \text{(kúpna opcia)}$
O koľko sa približne zmení cena opcie, keď sa cena podkladu zmení o jednotku.

Ak je $\Delta = 0{,}60$ a akcia stúpne o 1 €, cena opcie stúpne približne o 0,60 €.

Slovo „približne" tam je zámerne a bude témou nasledujúcej sekcie.

Rozsah. Delta kúpnej opcie leží medzi 0 a 1, delta predajnej medzi $-1$ a 0. Dôvod je vecný: opcia sa nikdy nepohne viac než podklad sám. Hlboko v peniazoch sa kúpna opcia správa takmer ako akcia ( $\Delta \to 1$ ), hlboko mimo peňazí sa nehýbe vôbec ( $\Delta \to 0$ ).

Geometricky je delta sklon cenovej krivky. Vezmite graf ceny opcie proti cene podkladu z dvanástej kapitoly a v ktoromkoľvek bode k nemu priložte dotyčnicu. Jej sklon je delta.

A je to zároveň hedžovací pomer z jedenástej kapitoly. To nie sú dve rôzne veci, ktoré sa zhodou okolností volajú rovnako: $\Delta = V_S$ bola jediná voľba, pri ktorej sa v zaistenom portfóliu vyrušil náhodný člen.

Gamma

Delta nie je konštantná. Keď sa cena pohne, zmení sa aj sklon krivky.

Gamma: $\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$
Ako rýchlo sa mení samotná delta. Pre kúpnu aj predajnú opciu je zhodná a vždy kladná.

Užitočná analógia:

\text{delta} = \text{rýchlosť}, \qquad \text{gamma} = \text{zrýchlenie}

Ak delta hovorí, kam sa cena opcie práve pohybuje, gamma hovorí, ako rýchlo sa ten pohyb mení.

Postupnosť je teda:

\text{krivka ceny} \;\to\; \text{jej sklon} = \Delta \;\to\; \text{zmena sklonu} = \Gamma

Prečo je gamma najvyššia okolo peňazí

Hlboko v peniazoch je delta blízko 1 a nemá kam rásť. Hlboko mimo peňazí je blízko 0 a nemá kam klesať. Medzi tým sa musí niekde presunúť z nuly do jednotky, a čím kratší čas na to má, tým prudšie.

Preto je gamma spike okolo realizačnej ceny, ktorý sa s ubiehajúcim časom zužuje a rastie do výšky. V posledný deň života opcie je delta prakticky skoková funkcia a gamma prakticky nekonečná.

Vega

Vega: $\nu = \frac{\partial V}{\partial \sigma} = S\varphi(d_1)\sqrt{T}$
O koľko sa zmení cena opcie pri zmene volatility. Pre kúpnu aj predajnú je zhodná a vždy kladná.

Prečo vyššia volatilita zdražuje obe opcie, aj kúpnu aj predajnú: rozšírenie rozdelenia koncovej ceny je symetrické, ale výplata opcie nie je. Držiteľ kúpnej opcie na pravej strane získava a na ľavej nestráca nič, lebo pod realizačnou cenou už vypláca nulu. Asymetria výplaty premení symetrické rozšírenie na jednostranný zisk.

To je ten istý argument ako v dvanástej kapitole, tu vyjadrený ako derivácia.

Théta

Théta: $\Theta = \frac{\partial V}{\partial t} = -\frac{S\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2) \quad \text{(kúpna opcia)}$
Ako sa mení hodnota opcie samotným plynutím času, pri nezmenených ostatných vstupoch.

Warning

Konvencia znamienka, na ktorej sa dá pomýliť.

Tento kurz derivuje podľa kalendárneho času $t$ , ktorý plynie dopredu. Théta dlhej opcie je preto záporná: opcia s pribúdajúcim časom stráca hodnotu.

Niektoré zdroje derivujú podľa času do expirácie $T$ , ktorý plynie dozadu. Tam vychádza tá istá veličina s opačným znamienkom.

Vzťah je jednoduchý: $\dfrac{\partial V}{\partial t} = -\dfrac{\partial V}{\partial T}$ , lebo $T = T_{\text{expirácia}} - t$ . Kto porovnáva čísla z dvoch zdrojov, musí najprv zistiť, ktorá konvencia sa v ktorom používa.

A ešte jedna vec: théta sa kótuje za deň, hoci derivácia vyjde za rok. Delí sa 365 (alebo 252, podľa toho, či sa počítajú kalendárne alebo obchodné dni). Kurz používa 365.

Prečo časová hodnota klesá

Časová hodnota je platba za to, že sa cena môže ešte pohnúť. Každý deň, ktorý prejde bez pohybu, je jedna príležitosť menej, a preto je opcia menej cenná.

Prečo théta nie je lineárna

Ak by opcia strácala rovnako každý deň, bola by théta konštantná. Nie je.

Časová hodnota opcie na peniazoch je úmerná $\sigma\sqrt{T}$ , a odmocnina neklesá rovnomerne. Z jedného roka na pol roka stratí opcia len 29 % časovej hodnoty; z posledného mesiaca na nulu stratí všetko.

Preto théta v absolútnej hodnote zrýchľuje, ako sa expirácia blíži. Pri našej opcii je za rok do expirácie −0,022 € za deň, pri troch mesiacoch −0,039 €, pri dvoch týždňoch −0,080 €. Posledný týždeň života opcie na peniazoch je najdrahší.

Pri opciách ďaleko od peňazí to neplatí: tam nie je čo strácať a théta sa k nule blíži.

Rho

Rho: $\rho = \frac{\partial V}{\partial r} = KTe^{-rT}N(d_2) \quad \text{(kúpna opcia)}$
Citlivosť na bezrizikovú sadzbu. Pre kúpnu opciu kladná, pre predajnú záporná.

Najlepšie sa vysvetlí cez replikáciu z jedenástej kapitoly. Kto replikuje kúpnu opciu, drží akcie a je zadlžený. Vyššia sadzba znamená drahšie financovanie, takže replikácia stojí viac, a preto opcia stojí viac.

Pri predajnej je to naopak: replikuje sa krátkym predajom akcie a uložením peňazí, a tie pri vyššej sadzbe zarobia viac.

Zjednodušene: kúpna opcia je odložený nákup. Čím vyššie sú sadzby, tým cennejšie je platiť neskôr.

Rho je z celej pätice najmenej sledované, lebo sadzby sa hýbu pomaly. Pri veľmi dlhých opciách a v obdobiach prudkých zmien sadzieb prestáva byť zanedbateľné.

Interaktívne: všetkých päť naraz

Toto je hlavný nástroj kapitoly. Posúvajte ktorýkoľvek parameter a sledujte, ako sa súčasne mení všetkých päť čísel.

Option type

Call

Put

Share price S

10€100.00200

Strike price K

10€100.00200

Time to expiry T

0.021 yrs3

Volatility σ

0.0530.00%1

Risk-free rate r

05.00%0.15

Option price

€14.23

Greeks

Delta Δ: 0.6243
Gamma Γ: 0.01265
Vega ν: 0.3794
Theta Θ: -0.0222
Rho ρ: 0.4819

How the selected Greek behaves

Values of the selected Greek along the axis
Axis	Value
€30	0.00005
€80	0.01521
€131	0.00489
€181	0.00053
€231	0.00005
€282	0
€332	0

The chart plots the derivative in its own units: theta per year, vega and rho per whole unit of the parameter. The figures above are converted to how the market quotes them.

What to try

Set the axis to the share price and the Greek to gamma. The peak sits near the strike and narrows as time runs out. Then switch to vega: that one grows with time, because a longer option has more room to react to volatility.

Otázky, ktoré si nástrojom viete zodpovedať sami:

„Čo sa stane s gammou, keď sa blížime k peniazom?" Nechajte os na cene akcie a gréka na gamme. Potom skracujte čas do expirácie a sledujte, ako sa vrchol zužuje a rastie.
„Ako sa mení vega pri dlhšej expirácii?" Prepnite os na čas a gréka na vegu. Rastie, a to zhruba ako $\sqrt{T}$ . Dlhšia opcia má na volatilitu viac priestoru reagovať.
„Kedy je théta najhoršia?" Prepnite gréka na thetu a os na čas. Krivka sa blízko nuly rúti nadol.
„Ako vyzerá delta predajnej opcie?" Prepnite typ. Celá krivka sa posunie o jednotku nadol, presne ako hovorí put-call parita.

Delta hedžovanie

Delta neutrálne portfólio: Portfólio, ktorého celková delta je nula. Malé pohyby ceny podkladu na jeho hodnotu nemajú vplyv.

Konkrétny príklad

Obchodník predal 100 kúpnych opcií (každá na jednu akciu) s deltou 0,624.

Krok 1: aká je delta pozície?

Predaná opcia má opačnú expozíciu než kúpená:

\Delta_{\text{pozícia}} = -100 \cdot 0{,}624 = -62{,}4

Pozícia sa správa, ako keby bol obchodník krátky 62,4 akcie: pri raste ceny stráca.

Krok 2: čo s tým?

Aby bola celková delta nula, musí kúpiť 62,4 akcie.

-62{,}4 + 62{,}4 = 0

Tip

Znamienka bez zmätku. Zapamätajte si jedno pravidlo: zaistenie má vždy opačné znamienko než delta pozície.

Pozícia	Delta pozície	Zaistenie
Long call	kladná	predať akcie
Short call	záporná	kúpiť akcie
Long put	záporná	kúpiť akcie
Short put	kladná	predať akcie

Kto opciu predal, kupuje podklad. Kto ju kúpil, predáva.

Dynamické zaisťovanie

Zaistenie z predchádzajúceho príkladu vydrží presne dovtedy, kým sa cena nepohne.

Akcia stúpne na 103 € a delta vyskočí na 0,661. Potrebné zaistenie je teraz $100 \cdot 0{,}661 = 66{,}1$ akcie, takže obchodník musí dokúpiť 3,7 akcie.

Reťazec je teda:

\text{cena sa pohne} \;\to\; \text{delta sa zmení} \;\to\; \text{zaistenie prestalo sedieť} \;\to\; \text{treba prehedžovať}

A to sa opakuje neustále. Jedenásta kapitola ukázala aj číselne, že zostatok po roku klesá s frekvenciou prehedžovania a nikdy nedosiahne nulu.

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Number of rebalances

150250

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

Option and portfolio value at selected times
Time	Option	Portfolio
0	€14.23	€14.23
0.16	€16.16	€16.33
0.32	€21.49	€21.64
0.48	€14.72	€15.38
0.64	€6.08	€6.01
0.8	€5.08	€4.73
0.96	€0.16	€0.74

Option value
Hedge portfolio

Premium taken in: €14.23
Payoff at expiry: €0.00
Hedge value at the end: €1.00
Leftover: €1.00 (7.0% of the premium)

Raise the number of rebalances. The leftover shrinks but never quite disappears. The derivation assumes continuous rebalancing and nobody does that; the gap between the model and practice is exactly this leftover.

Watch delta too. It is not constant: it moves with the price and with the passing of time, which is precisely why the position has to be adjusted as it goes.

Delta risk a gamma risk

Delta neutrálne portfólio nie je bez rizika. Je chránené len proti malým pohybom.

Delta risk a gamma risk

Delta risk je expozícia voči smeru pohybu. Odstráni sa vhodnou pozíciou v podklade.

Gamma risk je expozícia voči veľkosti pohybu. Delta neutrálne portfólio ju stále má, lebo delta sa počas pohybu mení a zaistenie sa oneskoruje.

Presné čísla máme z jedenástej kapitoly: pri pohybe o 3 % zostane po zaistení 0,06 €, a to nie je náhodná chyba, ale $\tfrac12\Gamma(\Delta S)^2$ .

Tip

Toto je jadro obchodovania s opciami.

Kto opciu drží (long gamma), pri každom prehedžovaní kupuje lacno a predáva draho: po poklese dokupuje, po raste predáva. Na pohyboch teda zarába bez ohľadu na smer. Platí za to thetou.

Kto opciu predal (short gamma), robí to opačne: dokupuje po raste a predáva po poklese, teda vždy nevýhodne. Inkasuje za to thetu a znáša riziko veľkého pohybu.

Rovnica z jedenástej kapitoly hovorí, že tie dve veci sú v rovnováhe presne vtedy, keď sa podklad hýbe volatilitou $\sigma$ :

\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma = rV - rS\Delta

Ak sa hýbe viac, zarába držiteľ. Ak menej, zarába predajca. Obchodovanie s opciami je preto stávka na to, ako veľmi sa podklad bude hýbať, nie na to, ktorým smerom.

Delta-gamma zaistenie

Gamma risk sa dá zmenšiť, ale nie pozíciou v podklade: akcia má gammu nula, lebo jej hodnota je v cene lineárna.

Na neutralizáciu gammy treba inú opciu. Postup je dvojkrokový:

Nájdi taký počet druhej opcie, aby sa celková gamma vynulovala.
Až potom uprav pozíciu v podklade tak, aby sa vynulovala aj celková delta.

Poradie je podstatné: druhá opcia má vlastnú deltu, ktorú prvý krok zmení.

Do praktických detailov (a do vegy, ktorá sa zaisťuje tretím kontraktom) tu nepôjdeme. Podstatné je rozumieť rozdielu: delta risk sa dá odstrániť podkladom, gamma risk len ďalšou opciou.

Časté nedorozumenia

Delta nie je pravdepodobnosť.

$N(d_1)$ sa niekedy interpretuje ako šanca, že opcia skončí v peniazoch. Tou je $N(d_2)$ , ako povedala dvanásta kapitola. Delta je hedžovací pomer a náhodou to je pravdepodobnosť, ale pod inou mierou.

Delta neutrálne neznamená bezrizikové.

Znamená len chránené proti malým pohybom v tomto okamihu. Gamma, vega aj théta zostávajú.

Vyššia vega neznamená, že volatilita stúpne.

Vega je citlivosť, nie predpoveď. Hovorí, o koľko by sa cena zmenila, keby volatilita stúpla, a nič o tom, či stúpne.

Théta nie je strata, ktorú niekto platí navyše.

Je to úbytok časovej hodnoty, ktorý je už zahrnutý v cene. Držiteľ opcie zaplatil za čas dopredu; théta len meria, akou rýchlosťou ho spotrebúva.

Gréky sú lokálne.

Sú to derivácie, teda platia presne len pre nekonečne malú zmenu. Pri veľkých pohyboch treba aspoň druhý rád (gammu) a aj ten je len aproximáciou.

Cvičenia

Exercise

Quick check: koľko akcií proti pozícii

Obchodník kúpil 200 kúpnych opcií s deltou 0,45.

Aká je delta jeho pozície a čo musí urobiť, aby bol delta-neutrálny?

Delta pozície

Akcií na predaj

Exercise

Quick check: ktorý grék sa nemení s typom opcie

Kúpna a predajná opcia na tú istú akciu s tou istou realizačnou cenou a expiráciou.

Ktoré z piatich grékov majú obe zhodné? Uveďte ich počet.

Počet zhodných grékov

Exercise

Quick check: kto zarába na pohybe

Obchodník A drží kúpnu opciu a priebežne ju delta-zaisťuje. Obchodník B tú istú opciu predal a robí to isté.

Akcia sa celý mesiac prudko hýbe, ale skončí presne tam, kde začala. Kto z nich na tom zarobil?

Zarobil A (1) alebo B (2)

Exercise

Ako sa mení delta

Opcia z tabuľky má deltu 0,624 a gammu 0,0126 na euro.

Akcia stúpne zo 100 na 103 €. Odhadnite novú deltu a o koľko sa približne zmení cena opcie.

Nová delta

Zmena ceny opcie

€

Exercise

Koľko stojí čas

Tá istá opcia má thetu −0,022 € za deň a vegu 0,38 € na percentuálny bod volatility.

O koľko klesne jej cena za týždeň, ak sa nič iné nezmení? A o koľko sa zmení, ak volatilita stúpne z 30 % na 33 %?

Zmena za 7 dní

€

Zmena pri +3 p. b. volatility

€

Exercise

Ako sa gréky menia s časom

Tá istá opcia (100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %) pri troch rôznych časoch do expirácie:

Čas do expirácie	Gamma	Vega (na p. b.)	Théta (za deň)
1 rok	0,01265	0,379 €	−0,022 €
3 mesiace	0,02627	0,197 €	−0,039 €
2 týždne	0,05932	0,089 €	−0,080 €

Koľkokrát vzrastie gamma medzi rokom a dvoma týždňami? A koľkokrát klesne vega?

Gamma vzrastie ×

Vega klesne ×

Exercise

Predajná opcia a jej gréky

Kúpna opcia z tabuľky má deltu 0,624 a rho 0,482 € na percentuálny bod.

Aká je delta a rho predajnej opcie s tou istou realizačnou cenou a expiráciou? Predajná má rho −0,469 € na p. b.

Delta predajnej

Súčet oboch delt

Exercise

Zaistenie pozície market makera

Market maker predal 50 kúpnych opcií (každá na jednu akciu) s deltou 0,624.

Koľko akcií musí kúpiť, aby bol delta-neutrálny? A koľko musí dokúpiť, keď akcia stúpne na 103 € a delta vyskočí na 0,662?

Akcií na zaistenie

Dokúpiť po pohybe

Exercise

Challenge: rozklad zmeny ceny na gréky

Obchodník drží kúpnu opciu za 14,23 € s deltou 0,624, gammou 0,0126, vegou 0,379 € na p. b. a thetou −0,022 € za deň.

Cez noc sa stane všetko naraz: akcia stúpne zo 100 na 102 €, volatilita klesne z 30 % na 28 % a prejde jeden deň.

Odhadnite príspevok každého efektu a celkovú zmenu ceny.

Príspevok delty

€

Príspevok gammy

€

Príspevok vegy

€

Príspevok théty

€

Celková zmena

€

Čo si zapamätať

Cena je snímka, gréky sú to, čo bude ďalej. Každý je parciálna derivácia ceny podľa jedného vstupu.
Delta je sklon cenovej krivky a zároveň hedžovací pomer. Kúpna medzi 0 a 1, predajná medzi $-1$ a 0.
Gamma je zmena delty, teda zakrivenie. Najvyššia je okolo peňazí a s blížiacou sa expiráciou sa zužuje a rastie.
Vega nie je grécke písmeno a meria citlivosť na parameter, o ktorom model tvrdí, že je konštantný. Pre kúpnu aj predajnú je kladná a zhodná.
Théta je záporná pre dlhú opciu pri derivovaní podľa kalendárneho času, a kótuje sa za deň. Nie je konštantná: pri opcii na peniazoch zrýchľuje k expirácii.
Rho je kladné pre kúpnu a záporné pre predajnú, lebo replikácia kúpnej si požičiava.
Zaistenie má vždy opačné znamienko než delta pozície.
Delta neutrálne nie je bezrizikové. Delta risk sa odstráni podkladom, gamma risk len ďalšou opciou.
Long gamma zarába na pohybe a platí thetou; short gamma inkasuje thetu a znáša riziko. Obchodovanie s opciami je stávka na veľkosť pohybu, nie na jeho smer.

Chapters

← Course overview

Chapter 13 of 17

Gréky a hedžovanie

Cena opcie nie je číslo, ale bod na piatich krivkách naraz: delta, gamma, vega, théta, rho a to, čo z nich robí obchod.

20 minutes

Problém

Dvanásta kapitola skončila číslom. Opcia na akciu za 100 € stojí 14,23 €.

Obchodník, ktorý ju kúpi, si vzápätí položí otázky, na ktoré to číslo neodpovedá:

Čo sa stane, ak akcia stúpne o euro?
Čo ak volatilita vyskočí z 30 % na 33 %?
Čo ak sa nestane nič a len prejde týždeň?
Čo ak centrálna banka zdvihne sadzby?

Cena je snímka. Gréky sú to, čo bude ďalej. Preto sú pre obchodníka dôležitejšie než samotná cena: cena povie, koľko zaplatiť, gréky povedia, čo sa stane potom.

Každý grék je parciálna derivácia ceny podľa jedného vstupu. Nič exotické: je to tá istá cenová funkcia $V(S,t)$ z jedenástej kapitoly, len sa na ňu pozeráme z piatich strán.

Grék	Meria citlivosť na	Symbol
Delta	cenu podkladu	$\Delta = \dfrac{\partial V}{\partial S}$
Gamma	zmenu delty	$\Gamma = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}$
Vega	volatilitu	$\nu = \dfrac{\partial V}{\partial \sigma}$
Théta	plynutie času	$\Theta = \dfrac{\partial V}{\partial t}$
Rho	úrokovú sadzbu	$\rho = \dfrac{\partial V}{\partial r}$

Delta

Delta: $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S} = N(d_1) \quad \text{(kúpna opcia)}$
O koľko sa približne zmení cena opcie, keď sa cena podkladu zmení o jednotku.

Ak je $\Delta = 0{,}60$ a akcia stúpne o 1 €, cena opcie stúpne približne o 0,60 €.

Slovo „približne" tam je zámerne a bude témou nasledujúcej sekcie.

Geometricky je delta sklon cenovej krivky. Vezmite graf ceny opcie proti cene podkladu z dvanástej kapitoly a v ktoromkoľvek bode k nemu priložte dotyčnicu. Jej sklon je delta.

Gamma

Delta nie je konštantná. Keď sa cena pohne, zmení sa aj sklon krivky.

Gamma: $\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = \frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T}}$
Ako rýchlo sa mení samotná delta. Pre kúpnu aj predajnú opciu je zhodná a vždy kladná.

Užitočná analógia:

\text{delta} = \text{rýchlosť}, \qquad \text{gamma} = \text{zrýchlenie}

Ak delta hovorí, kam sa cena opcie práve pohybuje, gamma hovorí, ako rýchlo sa ten pohyb mení.

Postupnosť je teda:

\text{krivka ceny} \;\to\; \text{jej sklon} = \Delta \;\to\; \text{zmena sklonu} = \Gamma

Prečo je gamma najvyššia okolo peňazí

Vega

Vega: $\nu = \frac{\partial V}{\partial \sigma} = S\varphi(d_1)\sqrt{T}$
O koľko sa zmení cena opcie pri zmene volatility. Pre kúpnu aj predajnú je zhodná a vždy kladná.

To je ten istý argument ako v dvanástej kapitole, tu vyjadrený ako derivácia.

Théta

Théta: $\Theta = \frac{\partial V}{\partial t} = -\frac{S\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T}} - rKe^{-rT}N(d_2) \quad \text{(kúpna opcia)}$
Ako sa mení hodnota opcie samotným plynutím času, pri nezmenených ostatných vstupoch.

Warning

Konvencia znamienka, na ktorej sa dá pomýliť.

Tento kurz derivuje podľa kalendárneho času $t$ , ktorý plynie dopredu. Théta dlhej opcie je preto záporná: opcia s pribúdajúcim časom stráca hodnotu.

Niektoré zdroje derivujú podľa času do expirácie $T$ , ktorý plynie dozadu. Tam vychádza tá istá veličina s opačným znamienkom.

A ešte jedna vec: théta sa kótuje za deň, hoci derivácia vyjde za rok. Delí sa 365 (alebo 252, podľa toho, či sa počítajú kalendárne alebo obchodné dni). Kurz používa 365.

Prečo časová hodnota klesá

Časová hodnota je platba za to, že sa cena môže ešte pohnúť. Každý deň, ktorý prejde bez pohybu, je jedna príležitosť menej, a preto je opcia menej cenná.

Prečo théta nie je lineárna

Ak by opcia strácala rovnako každý deň, bola by théta konštantná. Nie je.

Pri opciách ďaleko od peňazí to neplatí: tam nie je čo strácať a théta sa k nule blíži.

Rho

Rho: $\rho = \frac{\partial V}{\partial r} = KTe^{-rT}N(d_2) \quad \text{(kúpna opcia)}$
Citlivosť na bezrizikovú sadzbu. Pre kúpnu opciu kladná, pre predajnú záporná.

Pri predajnej je to naopak: replikuje sa krátkym predajom akcie a uložením peňazí, a tie pri vyššej sadzbe zarobia viac.

Zjednodušene: kúpna opcia je odložený nákup. Čím vyššie sú sadzby, tým cennejšie je platiť neskôr.

Rho je z celej pätice najmenej sledované, lebo sadzby sa hýbu pomaly. Pri veľmi dlhých opciách a v obdobiach prudkých zmien sadzieb prestáva byť zanedbateľné.

Interaktívne: všetkých päť naraz

Toto je hlavný nástroj kapitoly. Posúvajte ktorýkoľvek parameter a sledujte, ako sa súčasne mení všetkých päť čísel.

Option type

Call

Put

Share price S

10€100.00200

Strike price K

10€100.00200

Time to expiry T

0.021 yrs3

Volatility σ

0.0530.00%1

Risk-free rate r

05.00%0.15

Option price

€14.23

Greeks

Delta Δ: 0.6243
Gamma Γ: 0.01265
Vega ν: 0.3794
Theta Θ: -0.0222
Rho ρ: 0.4819

How the selected Greek behaves

Values of the selected Greek along the axis
Axis	Value
€30	0.00005
€80	0.01521
€131	0.00489
€181	0.00053
€231	0.00005
€282	0
€332	0

The chart plots the derivative in its own units: theta per year, vega and rho per whole unit of the parameter. The figures above are converted to how the market quotes them.

What to try

Otázky, ktoré si nástrojom viete zodpovedať sami:

„Čo sa stane s gammou, keď sa blížime k peniazom?" Nechajte os na cene akcie a gréka na gamme. Potom skracujte čas do expirácie a sledujte, ako sa vrchol zužuje a rastie.
„Ako sa mení vega pri dlhšej expirácii?" Prepnite os na čas a gréka na vegu. Rastie, a to zhruba ako $\sqrt{T}$ . Dlhšia opcia má na volatilitu viac priestoru reagovať.
„Kedy je théta najhoršia?" Prepnite gréka na thetu a os na čas. Krivka sa blízko nuly rúti nadol.
„Ako vyzerá delta predajnej opcie?" Prepnite typ. Celá krivka sa posunie o jednotku nadol, presne ako hovorí put-call parita.

Delta hedžovanie

Delta neutrálne portfólio: Portfólio, ktorého celková delta je nula. Malé pohyby ceny podkladu na jeho hodnotu nemajú vplyv.

Konkrétny príklad

Obchodník predal 100 kúpnych opcií (každá na jednu akciu) s deltou 0,624.

Krok 1: aká je delta pozície?

Predaná opcia má opačnú expozíciu než kúpená:

\Delta_{\text{pozícia}} = -100 \cdot 0{,}624 = -62{,}4

Pozícia sa správa, ako keby bol obchodník krátky 62,4 akcie: pri raste ceny stráca.

Krok 2: čo s tým?

Aby bola celková delta nula, musí kúpiť 62,4 akcie.

-62{,}4 + 62{,}4 = 0

Tip

Znamienka bez zmätku. Zapamätajte si jedno pravidlo: zaistenie má vždy opačné znamienko než delta pozície.

Pozícia	Delta pozície	Zaistenie
Long call	kladná	predať akcie
Short call	záporná	kúpiť akcie
Long put	záporná	kúpiť akcie
Short put	kladná	predať akcie

Kto opciu predal, kupuje podklad. Kto ju kúpil, predáva.

Dynamické zaisťovanie

Zaistenie z predchádzajúceho príkladu vydrží presne dovtedy, kým sa cena nepohne.

Akcia stúpne na 103 € a delta vyskočí na 0,661. Potrebné zaistenie je teraz $100 \cdot 0{,}661 = 66{,}1$ akcie, takže obchodník musí dokúpiť 3,7 akcie.

Reťazec je teda:

\text{cena sa pohne} \;\to\; \text{delta sa zmení} \;\to\; \text{zaistenie prestalo sedieť} \;\to\; \text{treba prehedžovať}

A to sa opakuje neustále. Jedenásta kapitola ukázala aj číselne, že zostatok po roku klesá s frekvenciou prehedžovania a nikdy nedosiahne nulu.

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Number of rebalances

150250

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

Option and portfolio value at selected times
Time	Option	Portfolio
0	€14.23	€14.23
0.16	€16.16	€16.33
0.32	€21.49	€21.64
0.48	€14.72	€15.38
0.64	€6.08	€6.01
0.8	€5.08	€4.73
0.96	€0.16	€0.74

Option value
Hedge portfolio

Premium taken in: €14.23
Payoff at expiry: €0.00
Hedge value at the end: €1.00
Leftover: €1.00 (7.0% of the premium)

Watch delta too. It is not constant: it moves with the price and with the passing of time, which is precisely why the position has to be adjusted as it goes.

Delta risk a gamma risk

Delta neutrálne portfólio nie je bez rizika. Je chránené len proti malým pohybom.

Delta risk a gamma risk

Delta risk je expozícia voči smeru pohybu. Odstráni sa vhodnou pozíciou v podklade.

Gamma risk je expozícia voči veľkosti pohybu. Delta neutrálne portfólio ju stále má, lebo delta sa počas pohybu mení a zaistenie sa oneskoruje.

Presné čísla máme z jedenástej kapitoly: pri pohybe o 3 % zostane po zaistení 0,06 €, a to nie je náhodná chyba, ale $\tfrac12\Gamma(\Delta S)^2$ .

Tip

Toto je jadro obchodovania s opciami.

Kto opciu predal (short gamma), robí to opačne: dokupuje po raste a predáva po poklese, teda vždy nevýhodne. Inkasuje za to thetu a znáša riziko veľkého pohybu.

Rovnica z jedenástej kapitoly hovorí, že tie dve veci sú v rovnováhe presne vtedy, keď sa podklad hýbe volatilitou $\sigma$ :

\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma = rV - rS\Delta

Ak sa hýbe viac, zarába držiteľ. Ak menej, zarába predajca. Obchodovanie s opciami je preto stávka na to, ako veľmi sa podklad bude hýbať, nie na to, ktorým smerom.

Delta-gamma zaistenie

Gamma risk sa dá zmenšiť, ale nie pozíciou v podklade: akcia má gammu nula, lebo jej hodnota je v cene lineárna.

Na neutralizáciu gammy treba inú opciu. Postup je dvojkrokový:

Nájdi taký počet druhej opcie, aby sa celková gamma vynulovala.
Až potom uprav pozíciu v podklade tak, aby sa vynulovala aj celková delta.

Poradie je podstatné: druhá opcia má vlastnú deltu, ktorú prvý krok zmení.

Časté nedorozumenia

Delta nie je pravdepodobnosť.

Delta neutrálne neznamená bezrizikové.

Znamená len chránené proti malým pohybom v tomto okamihu. Gamma, vega aj théta zostávajú.

Vyššia vega neznamená, že volatilita stúpne.

Vega je citlivosť, nie predpoveď. Hovorí, o koľko by sa cena zmenila, keby volatilita stúpla, a nič o tom, či stúpne.

Théta nie je strata, ktorú niekto platí navyše.

Je to úbytok časovej hodnoty, ktorý je už zahrnutý v cene. Držiteľ opcie zaplatil za čas dopredu; théta len meria, akou rýchlosťou ho spotrebúva.

Gréky sú lokálne.

Sú to derivácie, teda platia presne len pre nekonečne malú zmenu. Pri veľkých pohyboch treba aspoň druhý rád (gammu) a aj ten je len aproximáciou.

Cvičenia

Exercise

Quick check: koľko akcií proti pozícii

Obchodník kúpil 200 kúpnych opcií s deltou 0,45.

Aká je delta jeho pozície a čo musí urobiť, aby bol delta-neutrálny?

Delta pozície

Akcií na predaj

Exercise

Quick check: ktorý grék sa nemení s typom opcie

Kúpna a predajná opcia na tú istú akciu s tou istou realizačnou cenou a expiráciou.

Ktoré z piatich grékov majú obe zhodné? Uveďte ich počet.

Počet zhodných grékov

Exercise

Quick check: kto zarába na pohybe

Obchodník A drží kúpnu opciu a priebežne ju delta-zaisťuje. Obchodník B tú istú opciu predal a robí to isté.

Akcia sa celý mesiac prudko hýbe, ale skončí presne tam, kde začala. Kto z nich na tom zarobil?

Zarobil A (1) alebo B (2)

Exercise

Ako sa mení delta

Opcia z tabuľky má deltu 0,624 a gammu 0,0126 na euro.

Akcia stúpne zo 100 na 103 €. Odhadnite novú deltu a o koľko sa približne zmení cena opcie.

Nová delta

Zmena ceny opcie

€

Exercise

Koľko stojí čas

Tá istá opcia má thetu −0,022 € za deň a vegu 0,38 € na percentuálny bod volatility.

O koľko klesne jej cena za týždeň, ak sa nič iné nezmení? A o koľko sa zmení, ak volatilita stúpne z 30 % na 33 %?

Zmena za 7 dní

€

Zmena pri +3 p. b. volatility

€

Exercise

Ako sa gréky menia s časom

Tá istá opcia (100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %) pri troch rôznych časoch do expirácie:

Čas do expirácie	Gamma	Vega (na p. b.)	Théta (za deň)
1 rok	0,01265	0,379 €	−0,022 €
3 mesiace	0,02627	0,197 €	−0,039 €
2 týždne	0,05932	0,089 €	−0,080 €

Koľkokrát vzrastie gamma medzi rokom a dvoma týždňami? A koľkokrát klesne vega?

Gamma vzrastie ×

Vega klesne ×

Exercise

Predajná opcia a jej gréky

Kúpna opcia z tabuľky má deltu 0,624 a rho 0,482 € na percentuálny bod.

Aká je delta a rho predajnej opcie s tou istou realizačnou cenou a expiráciou? Predajná má rho −0,469 € na p. b.

Delta predajnej

Súčet oboch delt

Exercise

Zaistenie pozície market makera

Market maker predal 50 kúpnych opcií (každá na jednu akciu) s deltou 0,624.

Koľko akcií musí kúpiť, aby bol delta-neutrálny? A koľko musí dokúpiť, keď akcia stúpne na 103 € a delta vyskočí na 0,662?

Akcií na zaistenie

Dokúpiť po pohybe

Exercise

Challenge: rozklad zmeny ceny na gréky

Obchodník drží kúpnu opciu za 14,23 € s deltou 0,624, gammou 0,0126, vegou 0,379 € na p. b. a thetou −0,022 € za deň.

Cez noc sa stane všetko naraz: akcia stúpne zo 100 na 102 €, volatilita klesne z 30 % na 28 % a prejde jeden deň.

Odhadnite príspevok každého efektu a celkovú zmenu ceny.

Príspevok delty

€

Príspevok gammy

€

Príspevok vegy

€

Príspevok théty

€

Celková zmena

€

Čo si zapamätať

Cena je snímka, gréky sú to, čo bude ďalej. Každý je parciálna derivácia ceny podľa jedného vstupu.
Delta je sklon cenovej krivky a zároveň hedžovací pomer. Kúpna medzi 0 a 1, predajná medzi $-1$ a 0.
Gamma je zmena delty, teda zakrivenie. Najvyššia je okolo peňazí a s blížiacou sa expiráciou sa zužuje a rastie.
Vega nie je grécke písmeno a meria citlivosť na parameter, o ktorom model tvrdí, že je konštantný. Pre kúpnu aj predajnú je kladná a zhodná.
Théta je záporná pre dlhú opciu pri derivovaní podľa kalendárneho času, a kótuje sa za deň. Nie je konštantná: pri opcii na peniazoch zrýchľuje k expirácii.
Rho je kladné pre kúpnu a záporné pre predajnú, lebo replikácia kúpnej si požičiava.
Zaistenie má vždy opačné znamienko než delta pozície.
Delta neutrálne nie je bezrizikové. Delta risk sa odstráni podkladom, gamma risk len ďalšou opciou.
Long gamma zarába na pohybe a platí thetou; short gamma inkasuje thetu a znáša riziko. Obchodovanie s opciami je stávka na veľkosť pohybu, nie na jeho smer.

Chapters

← Course overview