Martingály a binomická reprezentačná veta

Problém

Za posledné tri kapitoly sme sa naučili tri veci, ktoré vyzerajú ako tri veci:

• opciu vieme replikovať portfóliom akcie a dlhopisu,
• existuje miera $Q$, pod ktorou je cena diskontovanou strednou hodnotou výplaty,
• na viackrokovom strome to isté funguje vrstvu po vrstve.

Sú to však tri pohľady na jeden fakt. Táto kapitola nájde jazyk, v ktorom to vidno, a zavedie vetu, ktorá povie niečo, čo sme zatiaľ len pozorovali: že replikačná stratégia vždy existuje. Doteraz sme ju v každom príklade našli, ale nájsť ju v príklade nie je to isté ako vedieť, že sa nájde vždy.

Intuícia: férová hra

Predstavte si hru, v ktorej hádžete mincou. Padne hlava, vyhráte euro; padne znak, prehráte euro.

Otázka: koľko máte očakávať, že budete mať po ďalšom hode?

Presne toľko, koľko máte teraz. Hra vám nič nepridáva ani neuberá: kolíše, ale nikam sa nesystematicky neposúva. Takej hre sa hovorí férová, a proces, ktorý ju popisuje, je martingál.

Kľúčové slovo je „očakávať". Martingál nie je proces, ktorý sa nehýbe. Je to proces, ktorého priemerný ďalší krok je nulový: hýbe sa, ale bez smeru.

Podmienená stredná hodnota a filtrácia

Aby sa dala férovosť zapísať presne, treba dva pojmy.

Filtrácia

$\mathcal{F}_t$ je všetko, čo je v čase $t$ známe. Na binomickom strome je to jednoducho informácia o tom, v ktorom uzle sa nachádzame, teda ktoré pohyby už nastali. Postupnosť $\mathcal {F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \dots$ sa nazýva filtrácia: informácie iba pribúdajú, nikdy sa nestrácajú.

Podmienená stredná hodnota

$\mathbb{E}^Q[X_{t + 1} \mid \mathcal{F}_t]$ je stredná hodnota veličiny $X_{t + 1}$ za predpokladu, že vieme všetko, čo je známe v čase $t$. Na strome je to obyčajný $q$-vážený priemer dvoch vetiev vychádzajúcich z aktuálneho uzla.

Nie je to teda jedno číslo, ale číslo v každom uzle. V hornom uzle sa priemeruje cez jeho dvoch nasledovníkov, v dolnom cez jeho dvoch, a vychádzajú rôzne hodnoty. Práve preto sa hovorí „podmienená".

Formálna definícia

Martingál

Proces $X$ je martingál vzhľadom na mieru $Q$ a filtráciu $\mathcal{F}$, ak pre každé $t$ platí

$$\mathbb{E}^Q\!\left[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t\right] = X_t$$

Slovami: dnešná hodnota je najlepším odhadom zajtrajšej.

Dve poznámky, ktoré rozhodujú o tom, či je pojem pochopený:

1. Byť martingálom nie je vlastnosť procesu samotného. Je to vlastnosť dvojice proces + miera. Ten istý proces môže byť martingálom pod jednou mierou a nie pod druhou, a presne to sa o chvíľu stane.
2. Rovnosť musí platiť v každom uzle, nielen v koreni.

Akcia martingálom nie je

Vezmime náš strom: $S_0 = 200$ €, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$, teda $q = 0{,}6$.

$$\begin{aligned} \mathbb{E}^Q[S_1 \mid \mathcal{F}_0] &= 0{,}6 \cdot 240 + 0{,}4 \cdot 160 \\ &= 144 + 64 = 208\ \text{€} \end{aligned}$$

To nie je 200 €. Akcia teda nie je martingálom ani pod $Q$, a je dobre, že nie je. Očakávaný výnos 4 % je presne ten bezrizikový, ktorý miera $Q$ z definície vynucuje. Akcia rastie, lebo peniaze majú cenu v čase.

Diskontovaná akcia martingálom je

Tento rast je jediná prekážka. Odstráňme ju: každú hodnotu vydelíme tým, na koľko medzitým narástol bezrizikový účet.

$$B_t = (1+r)^t, \qquad \tilde{S}_t = \frac{S_t}{B_t}$$

$\tilde{S}$ je cena akcie vyjadrená v jednotkách bezrizikového účtu, nie v eurách. Meriame ňou, o koľko akcia predbieha alebo zaostáva za tým, čo by človek dostal bez rizika.

Teraz to isté ešte raz:

$$\mathbb{E}^Q\!\left[\tilde{S}_1 \mid \mathcal{F}_0\right] = \frac{208}{1{,}04} = 200 = \tilde{S}_0$$

Sedí. A nie je to náhoda tohto príkladu, je to presne tá rovnica, z ktorej sme $q$ v štvrtej kapitole odvodili:

$$q\,uS_0 + (1-q)\,dS_0 = (1+r)S_0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbb{E}^Q\!\left[\tilde{S}_1\right] = \tilde{S}_0$$

Ľavá strana je to, čo sme napísali; pravá je definícia martingálu. Sú to dva zápisy jednej podmienky.

A pod skutočnou mierou?

Ak si investor myslí, že akcia rastie s pravdepodobnosťou $p = 0{,}7$:

$$\begin{aligned} \mathbb{E}^P[S_1] &= 0{,}7 \cdot 240 + 0{,}3 \cdot 160 = 216\ \text{€} \\[2pt] \mathbb{E}^P\!\left[\tilde{S}_1\right] &= \frac{216}{1{,}04} = 207{,}69\ \text{€} \end{aligned}$$

To je viac než 200 €. Pod $P$ diskontovaná akcia martingálom nie je, a opäť je to správne. Akcia je riziková, a preto sa od nej v priemere čaká viac než bezrizikový výnos. Ten prebytok je riziková prémia a $Q$ je presne tá miera, ktorá ju odstráni.

Diskontovaná cena opcie je tiež martingál

Vezmime dvojkrokový strom z piatej kapitoly, teda tie isté parametre, $K = 200$ €, cena 29,29 €. Prepočítajme každý uzol na jednotky bezrizikového účtu:

Kontrola v koreni:

$$\mathbb{E}^Q\!\left[\tilde{V}_1 \mid \mathcal{F}_0\right] = 0{,}6 \cdot 48{,}82 + 0{,}4 \cdot 0 = 29{,}29 = \tilde{V}_0$$

Kontrola v hornom uzle:

$$\mathbb{E}^Q\!\left[\tilde{V}_2 \mid \mathcal{F}_1^{\,u}\right] = 0{,}6 \cdot 81{,}36 + 0{,}4 \cdot 0 = 48{,}82 = \tilde{V}_1^{\,u}$$

Platí to v každom uzle. Spätná indukcia z piatej kapitoly nie je nič iné než martingálová podmienka aplikovaná odzadu: v každom kroku sme počítali práve ten $q$-vážený priemer, ktorý definícia predpisuje.

Interaktívne: martingálová kontrola

Pod stromom je tabuľka, ktorá pre každý nekoncový uzol postaví vedľa seba diskontovanú hodnotu v ňom a riziko-neutrálny priemer diskontovaných hodnôt jeho dvoch nasledovníkov. Stĺpce sa musia rovnať, a rovnajú sa aj vtedy, keď parametre posuniete.

Option type

Call

Put

Share price today S₀

50€200.00400

Strike price K

50€200.00400

Up factor u

1.051.21.8

Down factor d

0.50.80.95

Risk-free rate r

04.0%15

Number of steps

125

Option price today

€29.29

Delta at time 0

0.6346

Risk-neutral probability q

60.00%

Martingale check

For every non-terminal node: the discounted value at the node, and the risk-neutral average of the discounted values of its two successors. Equal columns mean the process is a martingale.

Node	S̃ at the node	E^Q[S̃ of successors]	Ṽ at the node	E^Q[Ṽ of successors]
t=0, 0↑	€200.00	€200.00	€29.29	€29.29
t=1, 0↑	€153.85	€153.85	€0.00	€0.00
t=1, 1↑	€230.77	€230.77	€48.82	€48.82

Nodes of the binomial tree

Step	Up moves	Share price	Option value
0	0	€200.00	€29.29
1	0	€160.00	€0.00
1	1	€240.00	€50.77
2	0	€128.00	€0.00
2	1	€192.00	€0.00
2	2	€288.00	€88.00

Skúste zmeniť sadzbu, realizačnú cenu aj typ opcie. Čísla sa zmenia, rovnosť nie.

Stratégia, ktorá nevidí do budúcnosti

Aby sa dala vysloviť posledná veta kapitoly, treba ešte opísať, čo je stratégia.

Stratégiu zapíšeme procesom $\varphi_t$, teda koľko akcií držíme počas $t$-teho kroku. Zvyšok hodnoty portfólia je na bezrizikovom účte, takže $\varphi$ ju určuje celú.

Musí spĺňať dve podmienky:

Predvídateľnosť (previsibility)

$\varphi_t$ musí byť rozhodnuté na základe $\mathcal{F}_{t - 1}$, teda pred pohybom, nie po ňom.

Samofinancovanie

Prerozdelenie medzi akciou a účtom nepridáva ani neuberá peniaze zvonku. Čo sa dokúpi, musí sa zaplatiť z toho, čo sa predalo.

Ani jedna z nich nie je technická drobnosť. Stratégia, ktorá by videla do budúcnosti, by zarábala vždy a celá teória by padla. A stratégia, ktorá si smie dosypávať peniaze, replikuje čokoľvek, takže by nič nedokazovala.

Binomická reprezentačná veta

Binomická reprezentačná veta

Nech $\tilde{S}$ je martingál vzhľadom na $Q$, ktorý sa v každom uzle skutočne hýbe (obe vetvy majú kladnú pravdepodobnosť a rôzne hodnoty). Potom pre každý martingál $\tilde{V}$ vzhľadom na tú istú mieru existuje predvídateľný proces $\varphi$ taký, že

$$\tilde{V}_t = \tilde{V}_0 + \sum_{i=1}^{t} \varphi_i \left(\tilde{S}_i - \tilde{S}_{i-1}\right)$$

Slovami: každý martingál sa dá vyrobiť ako zisk z obchodovania s jedným jediným iným martingálom. Nič sa nedosýpa; celý vývoj hodnoty pochádza z pohybov podkladu.

Prečo to na binomickom strome platí

Dôkaz je krátky, lebo v každom uzle stojíme pred dvoma rovnicami o jednej neznámej, a tá jedna sa dá vždy vyriešiť, lebo druhá rovnica je splnená automaticky.

Chceme $\varphi$ také, aby v oboch nasledujúcich stavoch platilo $\tilde{V}_{t+1} = \tilde{V}_t + \varphi(\tilde{S}_{t+1} - \tilde{S}_t)$. Z hornej vetvy:

$$\varphi = \frac{\tilde{V}^{\,u} - \tilde{V}^{\,d}}{\tilde{S}^{\,u} - \tilde{S}^{\,d}}$$

Menovateľ nie je nula, lebo strom sa hýbe. A že tá istá $\varphi$ vyhovie aj dolnej vetve, zaručí martingálová vlastnosť: obe strany majú pod $Q$ rovnakú strednú hodnotu, takže ak sa zhodujú hore, musia sa zhodovať aj dole.

To $\varphi$ vám je povedomé. Je to delta z tretej kapitoly.

Overenie na dvojkrokovom strome

$\tilde{V}_0 = 29{,}29$ €, $\tilde{S}_0 = 200$ €.

$$\varphi_1 = \frac{50{,}77 - 0}{240 - 160} = 0{,}6346$$

Po pohybe nahor je $\tilde{S}_1 = 230{,}77$ €, teda $\Delta\tilde{S}_1 = 30{,}77$ €:

$$\tilde{V}_1 = 29{,}29 + 0{,}6346 \cdot 30{,}77 = 29{,}29 + 19{,}53 = 48{,}82\ \text{€}$$

Po pohybe nadol je $\tilde{S}_1 = 153{,}85$ €, teda $\Delta\tilde{S}_1 = -46{,}15$ €:

$$\tilde{V}_1 = 29{,}29 + 0{,}6346 \cdot (-46{,}15) = 29{,}29 - 29{,}29 = 0\ \text{€}$$

Obe sedia s tabuľkou vyššie. Jedno číslo $\varphi_1$, rozhodnuté dnes, dobehne hodnotu opcie v oboch scenároch.

Ako spolu všetko súvisí

Druhá časť má jednu vetu, len povedanú štyrikrát:

1. Trh je bezarbitrážny $\;\Longleftrightarrow\;$ existuje miera $Q$, pod ktorou je $\tilde{S}$ martingál. (To je prvá základná veta oceňovania; v druhej kapitole sme jej jednu stranu videli ako podmienku $d < 1+r < u$.)
2. $Q$ je jediná $\;\Longleftrightarrow\;$ z každého uzla vedú práve dve vetvy. (Na binomickom strome je to splnené z konštrukcie. To je druhá základná veta.)
3. Reprezentačná veta potom dáva ku každej výplate predvídateľnú, samofinancujúcu stratégiu $\varphi$, ktorá ju presne dobehne.
4. Preto cena existuje a je jediná, a rovná sa $\tilde{V}_0 = \mathbb{E}^Q[\tilde{V}_T]$, čo je vzorec z piatej kapitoly.

Poradie tých šípok je podstatné. Cena nie je definovaná ako stredná hodnota, a potom sa k nej dodatočne hľadá stratégia. Cena existuje preto, že existuje stratégia, a stredná hodnota je len najkratší spôsob, ako ju spočítať.

Cvičenia

Exercise

Quick check: martingál a diskontovanie

Akcia stojí 200 €, o krok bude 240 alebo 160 €, sadzba je 4 % a $q = 0{,}6$.

Spočítajte $\mathbb{E}^Q[S_1]$ a $\mathbb{E}^Q[\tilde{S}_1]$.

E^Q[S₁]

€

E^Q[S̃₁]

€

Check

Exercise

Quick check: koľko čísel má stratégia

Na dvojkrokovom binomickom strome zapíšeme stratégiu ako $\varphi_1$ a $\varphi_2$.

Koľko konkrétnych čísel treba dokopy zadať, aby bola stratégia úplne určená?

Počet čísel

Check

Exercise

Martingálová kontrola v hornom uzle

Na dvojkrokovom strome (200 €, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$, $K = 200$ €) má opcia v hornom uzle hodnotu 50,77 € a v koncovom uzle po dvoch rastoch 88 €.

Prepočítajte obe na jednotky bezrizikového účtu a overte martingálovú podmienku v hornom uzle.

Ṽ v hornom uzle

€

Ṽ v hornom koncovom uzle

€

E^Q[Ṽ₂ | hore]

€

Check

Exercise

Reprezentačná veta v jednom kroku

Jednokroková opcia z tretej kapitoly: akcia 200 €, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$, $K = 200$ €, cena 23,08 €, delta 0,5.

Overte, že hodnota opcie po jednom kroku vznikne výlučne ziskom z obchodovania s diskontovanou akciou.

S̃₁ po raste

€

Zisk φ·ΔS̃ po raste

€

Ṽ₁ po raste

€

Check

Exercise

Predvídateľnosť sa nedá obísť

Predstavte si stratégiu, ktorá by $\varphi_1$ vybrala až po tom, čo uvidí prvý pohyb: $\varphi_1 = 1$ pri raste a $\varphi_1 = 0$ pri poklese.

Aký zisk by priniesla v hornom scenári a aký v dolnom (v diskontovaných jednotkách, so štartom $\tilde{S}_0 = 200$ €)?

Zisk v hornom scenári

€

Zisk v dolnom scenári

€

Check

Exercise

Challenge: nájdite stratégiu na dvojkrokovom strome

Strom: 200 €, $u = 1{,}2$, $d = 0{,}8$, $r = 4\ \%$, $K = 200$ €, dva kroky. Z piatej kapitoly viete, že $V_0 = 29{,}29$ €, $V_1^{\,u} = 50{,}77$ € a $V_1^{\,d} = 0$ €.

Nájdite $\varphi_1$ a $\varphi_2$ v hornom uzle. Potom overte reprezentačnú vetu pre prvý krok.

φ₁

φ₂ v hornom uzle

Ṽ₀ + φ₁·ΔS̃₁ po raste

€

Check

Čo si zapamätať

1. Martingál je proces, ktorého dnešná hodnota je najlepším odhadom zajtrajšej: $\mathbb{E}^Q[X_{t+1} \mid \mathcal{F}_t] = X_t$.
2. Byť martingálom je vlastnosťou dvojice proces + miera, nie procesu samotného.
3. Akcia martingálom nie je, pod $Q$ rastie o bezrizikovú sadzbu. Diskontovaná akcia $\tilde{S}_t = S_t/(1+r)^t$ martingálom je, a je to presne tá podmienka, z ktorej sme $q$ odvodili.
4. Pod skutočnou mierou $P$ diskontovaná akcia martingál netvorí; ten prebytok je riziková prémia.
5. Diskontovaná cena opcie je tiež martingál pod $Q$, a spätná indukcia z piatej kapitoly je práve overovanie tejto vlastnosti odzadu.
6. Stratégia musí byť predvídateľná a samofinancujúca. Bez predvídateľnosti sa dá vyrobiť arbitráž a teória padne.
7. Reprezentačná veta: každý martingál sa dá napísať ako zisk z obchodovania s $\tilde{S}$, a to $\varphi$ je delta.
8. Cena existuje preto, že existuje stratégia, nie naopak. Stredná hodnota pod $Q$ je len najkratšia cesta k tomu istému číslu.