Chapter 11 of 17

Black–Scholesova rovnica

Tá istá cena druhou cestou: zaistením v spojitom čase, bez jedinej pravdepodobnosti.

19 minutes

Problém

Desiata kapitola dostala cenu opcie ako strednú hodnotu pod mierou $\mathbb{Q}$ . Bola to cesta cez pravdepodobnosť: zmeň váhy, spriemeruj, diskontuj.

Existuje aj druhá cesta a nepoužije ani jednu pravdepodobnosť.

Otázka, ktorou začína, znie: dá sa zložiť portfólio, v ktorom sa náhodnosť Brownovho pohybu úplne vyruší?

Nie je to nová myšlienka. V tretej kapitole sme presne to urobili na binomickom strome: portfólio $\Delta$ akcií plus hotovosť malo v oboch budúcich stavoch tú istú hodnotu ako opcia, a preto muselo stáť rovnako. Teraz to isté v spojitom čase.

Cena derivátu ako funkcia

Začnime tým, čo vlastne hľadáme.

Cenová funkcia derivátu: $V = V(S, t)$
Hodnota derivátu závisí od dvoch vecí: od aktuálnej ceny podkladu $S$ a od času $t$ . Nič viac model nepripúšťa: nie od toho, ako sa cena k dnešnej úrovni dostala, ani od názoru investora.

Notácia parciálnych derivácií, ktorú budeme používať:

Zápis	Význam	Meno v trinástej kapitole
$V_t = \dfrac{\partial V}{\partial t}$	ako sa hodnota mení plynutím času, pri nezmenenej cene	théta
$V_S = \dfrac{\partial V}{\partial S}$	ako sa hodnota mení s cenou podkladu	delta
$V_{SS} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}$	ako rýchlo sa mení samotná delta	gamma

Tie tri veličiny budú za chvíľu jediným obsahom Black–Scholesovej rovnice.

Itôova lema na cenu derivátu

Podklad sa hýbe podľa

dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW

Všimnite si, že tu píšeme $\mu$ , nie $r$ . Sme pod skutočnou mierou; žiadnu zmenu miery v tejto kapitole nerobíme. To je práve to, čo robí druhú cestu nezávislou od prvej.

Aplikujme Itôovu lemu z ôsmej kapitoly na $V(S,t)$ :

dV = \left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt + \sigma S\,V_S\,dW

Prečítajme, čo tam stojí:

Člen pri $dt$ je predvídateľný. Skladá sa z plynutia času, z driftu podkladu a z Itôovej korekcie.

Člen pri $dW$ je náhodný a v celej rovnici je jediný. Jeho koeficient je $\sigma S\,V_S$ .

A práve ten jediný člen chceme odstrániť.

Zaisťovacie portfólio

Zaisťované portfólio: $\Pi = V - \Delta\,S$
Držíme jeden derivát a zároveň krátku pozíciu $\Delta$ akcií. (Ekvivalentne: derivát predáme a $\Delta$ akcií kúpime; znamienka sa len obrátia a záver je ten istý.)

Prečo práve takto? Lebo derivát aj akcia sú hnané tým istým $dW$ . Ak sa dá to $dW$ z jedného odčítať v správnej dávke druhým, zostane portfólio, ktoré sa nehýbe náhodne.

$\Delta$ zatiaľ nevieme. Nechajme ju ako neznámu a odvoďme, akú hodnotu musí mať.

Odvodenie deltu

Krok 1: zmena portfólia za nekonečne krátky čas.

d\Pi = dV - \Delta\,dS

Krok 2: dosadíme obe zmeny.

d\Pi = \left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt + \sigma S\,V_S\,dW - \Delta\left(\mu S\,dt + \sigma S\,dW\right)

Krok 3: pozbierame členy pri $dt$ a pri $dW$ zvlášť.

d\Pi = \underbrace{\left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} - \Delta\mu S\right)}_{\text{predvídateľné}}dt + \underbrace{\sigma S\left(V_S - \Delta\right)}_{\text{náhodné}}dW

Krok 4: zvolíme $\Delta$ tak, aby náhodný člen zmizol.

Koeficient pri $dW$ je $\sigma S(V_S - \Delta)$ . Je nulový práve vtedy, keď

\boxed{\;\Delta = V_S\;}

Hedžovací pomer teda nie je voľba ani odhad. Je to derivácia cenovej funkcie podľa ceny podkladu, jediná hodnota, pri ktorej sa náhoda vyruší. Je to spojitá verzia toho $\Delta = \frac{C_u - C_d}{S_u - S_d}$ z tretej kapitoly.

Bezrizikové portfólio

Po tejto voľbe zostáva

d\Pi = \left(V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt

Všimnite si, čo z rovnice zmizlo spolu s $dW$ : oba členy s $\mu$ . Ten pri $V_S$ aj ten pri $\Delta$ sa vyrušili, lebo $\Delta = V_S$ .

Portfólio sa teraz mení úplne predvídateľne. Nenesie žiadne riziko.

A bezrizikové portfólio musí zarábať bezrizikovú sadzbu, inak vzniká arbitráž: keby zarábalo viac, požičiam si a kúpim ho; keby menej, predám ho nakrátko a peniaze uložím. Toto je ten istý princíp, ktorým druhá kapitola ocenila forward.

d\Pi = r\Pi\,dt

Krok 5: dosadíme obe strany.

Ľavá strana je to, čo sme práve odvodili. Pravá strana je $r$ krát hodnota portfólia, teda $r(V - \Delta S) = r(V - S\,V_S)$ :

\left(V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt = r\left(V - S\,V_S\right)dt

Krok 6: vydelíme $dt$ a roznásobíme pravú stranu.

V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} = rV - rS\,V_S

Krok 7: prenesieme všetko na jednu stranu.

\boxed{\;V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} + rS\,V_S - rV = 0\;}

Toto je Black–Scholesova rovnica.

Čo v nej ktorý člen robí

Člen	Čo hovorí
$V_t$	opcia stráca hodnotu plynutím času
$\tfrac12\sigma^2S^2V_{SS}$	zakrivenie cenovej funkcie hodnotu pridáva, a tým viac, čím je podklad kolísavejší
$rS\,V_S$	držanie zaisťovacej pozície v akciách viaže kapitál, ktorý má cenu
$-rV$	samotný derivát predstavuje viazaný kapitál

Prvé dva členy sú tie, ktoré trinásta kapitola pomenuje ako thetu a gammu, a ich rovnováha je celý obsah obchodovania s opciami.

Prečo v rovnici nie je μ

Tip

Toto je najdôležitejšia veta celej štvrtej časti, a stojí za to ju prečítať dvakrát.

Očakávaný výnos akcie $\mu$ je nepochybne dôležitý pre toho, kto akciu drží. Rozhoduje o tom, či sa investícia oplatí.

Ale derivát vieme dokonale replikovať. A keď zložíme zaistené portfólio, trhové riziko z neho zmizne. Nezostáva v ňom nič, za čo by mal trh platiť rizikovú prémiu, a preto v ňom nezostáva ani $\mu$ .

Prakticky to znamená toto: dvaja investori s úplne opačným názorom na budúcnosť akcie musia súhlasiť s tou istou cenou opcie. Optimista aj pesimista dokážu opciu replikovať za rovnaké peniaze, a kto by za ňu pýtal viac alebo menej, dá tomu druhému arbitráž.

Nie je to teda tak, že by model názory ignoroval. Názory sú už zarátané v dnešnej cene akcie, ktorá je vstupom modelu. Model len odmieta zarátať ich druhýkrát.

Za pozornosť stojí, kde presne $\mu$ vypadlo. Nie v nejakej neskoršej úprave, ale v kroku 4, keď sme zvolili $\Delta = V_S$ . Tá voľba súčasne odstránila náhodnosť aj očakávaný výnos, lebo v Itôovej leme stoja pri tom istom mieste.

A všimnite si zhodu s deviatou kapitolou: tam $\mu$ zmizlo pri zmene miery, tu pri zaistení. Dva úplne odlišné dôvody, ten istý dôsledok.

Interaktívne: vyrušenie na vlastné oči

Krok 4 je jediné miesto, kde sa dá celé odvodenie spochybniť. Pozrite sa naň.

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Price move

-0.153.0%0.15

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

What cancels and what is left

Change in the option's value€1.93

Change in the hedge's value€1.87

Residual (uncancelled)€0.06

Estimate ½Γ(ΔS)²€0.06

The first two rows are nearly identical and the equation subtracts them. That subtraction is what removes the dW term from the portfolio, and it is the single step the whole derivation rests on.

The third row is what delta missed. It is not random: it sits on the fourth row, the curvature. And it is positive whether the price rose or fell, which is why holding an option pays off on movement as such.

Prvý riadok je to, čo urobí opcia. Druhý je to, čo urobí zaistenie. V rovnici sa odčítajú, a ako vidno, takmer sa vyrušia.

Takmer, nie úplne. Tretí riadok je zvyšok a nie je náhodný: sedí na štvrtom riadku, teda na $\tfrac12\Gamma(\Delta S)^2$ . Skúste posunúť pohyb na obe strany a všimnite si, že zvyšok zostane kladný v oboch prípadoch. Držiteľ opcie zarába na pohybe ako takom, bez ohľadu na smer.

V odvodení ten zvyšok nie je preto, že sme pracovali s nekonečne malým pohybom, pri ktorom je druhý rád skutočne zanedbateľný oproti prvému. V praxi nekonečne malé pohyby nie sú.

Okrajové podmienky

Rovnica sama o sebe nestačí. Opisuje, ako sa hodnota vyvíja, ale nehovorí, o aký derivát ide.

Koncová podmienka

Pre európsku kúpnu opciu:

V(S, T) = \max(S - K,\, 0)

Pre predajnú:

V(S, T) = \max(K - S,\, 0)

Pre forward s dodacou cenou $K$ :

V(S, T) = S - K

Jedna rovnica, mnoho produktov. Rovnica opisuje dynamiku pred expiráciou, koncová podmienka určuje, čo sa pri expirácii stane. Zmeníte podmienku a dostanete iný derivát.

Riešením rovnice s koncovou podmienkou kúpnej opcie je presne ten vzorec, ktorý desiata kapitola dostala integrovaním. To je celé tvrdenie tejto kapitoly a dvanásta ho rozoberie na súčiastky.

Interaktívne: hedžovanie po celý rok

Krok 4 platí v každom okamihu. Obchodník ale nemôže prehedžovávať spojite. Čo z toho vyplýva?

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Number of rebalances

150250

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

Option and portfolio value at selected times
Time	Option	Portfolio
0	€14.23	€14.23
0.16	€16.16	€16.33
0.32	€21.49	€21.64
0.48	€14.72	€15.38
0.64	€6.08	€6.01
0.8	€5.08	€4.73
0.96	€0.16	€0.74

Option value
Hedge portfolio

Premium taken in: €14.23
Payoff at expiry: €0.00
Hedge value at the end: €1.00
Leftover: €1.00 (7.0% of the premium)

Raise the number of rebalances. The leftover shrinks but never quite disappears. The derivation assumes continuous rebalancing and nobody does that; the gap between the model and practice is exactly this leftover.

Watch delta too. It is not constant: it moves with the price and with the passing of time, which is precisely why the position has to be adjusted as it goes.

Predáme opciu za jej modelovú cenu, kúpime $\Delta$ akcií, zvyšok si požičiame a potom pozíciu $n$ krát počas roka upravíme. Na konci porovnáme, čo máme, s tým, čo musíme vyplatiť.

Čo vyskúšať:

Sledujte obe krivky. Hodnota opcie a hodnota zaisťovacieho portfólia idú spolu. Nie preto, že by sme ich k sebe nútili, ale preto, že zaistenie opciu naozaj replikuje.
Zvyšujte počet prehedžovaní. Zostatok na konci sa zmenšuje. Pri jednom prehedžovaní je typicky vyše polovice prémie, pri dvestopäťdesiatich rádovo pár percent.
Nikdy nedosiahne nulu. Odvodenie predpokladá spojité prehedžovanie a to nikto nerobí. Rozdiel medzi modelom a praxou je presne tento zostatok, a trinásta kapitola je o tom, koľko stojí.
Sledujte spodný graf. Delta nie je konštantná. Mení sa s cenou aj s ubiehajúcim časom, a preto sa musí pozícia priebežne upravovať. Statické zaistenie neexistuje.

Dve cesty, jedna cena

Máme dve odvodenia toho istého výsledku. Postavme ich vedľa seba.

	Martingálový prístup (kap. 10)	Replikačný prístup (kap. 11)
východisko	riziko-neutrálna miera $\mathbb{Q}$	zaistené portfólio $\Pi = V - \Delta S$
jazyk	pravdepodobnosť	zaisťovanie
kľúčový krok	Girsanov: $\mu \to r$	voľba $\Delta = V_S$
kde zmizne $\mu$	pri zmene miery	pri vyrušení náhodného členu
výsledok	$V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{výplata}]$	$V_t + \tfrac12\sigma^2S^2V_{SS} + rSV_S - rV = 0$
čo je ľahšie	dostať číslo	dostať stratégiu
kedy je lepší	uzavreté vzorce, Monte Carlo	numerika, americké opcie
cena kúpnej opcie	$S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$	$S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$

Posledný riadok je pointa. Nejde o dve konkurenčné teórie, ale o dva pohľady na ten istý bezarbitrážny princíp z druhej kapitoly.

Súvislosť medzi nimi má aj meno. Feynmanova–Kacova veta hovorí všeobecne, že riešenie parciálnej diferenciálnej rovnice tohto typu sa dá zapísať ako stredná hodnota cez trajektórie príslušného náhodného procesu. Black–Scholes je jej najznámejší konkrétny prípad.

Cvičenia

Exercise

Quick check: koľko akcií proti opciám

Obchodník predal 100 kúpnych opcií na akciu za 100 €. Delta jednej opcie je 0,6243.

Koľko akcií musí kúpiť, aby bola pozícia zaistená, a akú hodnotu tie akcie majú?

Počet akcií

Hodnota akcií

€

Exercise

Quick check: čo sa vyruší

Tá istá opcia: $S = 100$ €, $\sigma = 30\ \%$ , $V_S = 0{,}6243$ .

Aký je koeficient pri $dW$ v rovnici pre samotnú opciu, teda $\sigma S V_S$ ? A aký je po tom, čo od nej odčítame zaistenie s $\Delta = V_S$ ?

Pred zaistením

Po zaistení

Exercise

Quick check: dvaja analytici

Analytik A tvrdí, že akcia porastie o 12 % ročne. Analytik B tvrdí, že o 4 %. Obaja majú tú istú akciu za 100 €, tú istú volatilitu 30 %, tú istú sadzbu 5 % a tú istú opciu s ročnou expiráciou.

Akú cenu opcie dostane každý z nich z Black–Scholesovej rovnice?

Cena podľa A

€

Cena podľa B

€

Exercise

Overte rovnicu na konkrétnych číslach

Pre kúpnu opciu s $S = K = 100$ €, $\sigma = 30\ \%$ , $r = 5\ \%$ a rokom do expirácie platí: cena je 14,2313 €, delta 0,6243, gamma 0,0126478 a théta −8,1012 za rok.

Overte, že tieto čísla spĺňajú Black–Scholesovu rovnicu. Spočítajte obe strany rovnosti

\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma = rV - rS\Delta

Ľavá strana

Pravá strana

Exercise

Jeden pohyb ceny

Tá istá opcia (14,2313 €, delta 0,6243). Akcia sa okamžite pohne zo 100 € na 103 €, pri nezmenenom čase. Nová hodnota opcie je 16,1597 €.

Spočítajte zmenu hodnoty opcie, zmenu hodnoty zaistenia a zvyšok, ktorý sa nevyrušil.

Zmena hodnoty opcie

€

Zmena hodnoty zaistenia

€

Zvyšok

€

Exercise

Postavenie zaisťovacej pozície

Obchodník predá 200 kúpnych opcií za modelovú cenu 14,2313 € za kus. Delta je 0,6243, akcia stojí 100 €.

Koľko inkasuje, koľko akcií kúpi, koľko za ne zaplatí a koľko si musí požičať?

Inkasovaná prémia

€

Počet akcií

Cena akcií

€

Potrebná pôžička

€

Exercise

Ktorý derivát rovnica opisuje

Rovnaká rovnica, iná okrajová podmienka. Uvažujme forward na akciu s dodaním o rok za dohodnutú cenu 100 €, teda výplatou $V(S,T) = S_T - 100$ .

Akú hodnotu má tento kontrakt dnes, ak akcia stojí 100 € a sadzba je 5 %?

Hodnota forwardu dnes

€

Exercise

Challenge: prečo je zvyšok vždy kladný

Tá istá opcia. Porovnajte dva pohyby: akcia sa pohne o +3 % a potom, v inom scenári, o −3 %.

Hodnoty opcie: pri 103 € je 16,1597 €, pri 97 € je 12,4166 €. Delta pred pohybom je 0,6243, gamma 0,0126478.

Spočítajte zvyšok v oboch prípadoch a odhad z gammy.

Zvyšok pri +3 %

€

Zvyšok pri −3 %

€

Odhad ½Γ(ΔS)²

€

Čo si zapamätať

Druhá cesta k tej istej cene nepoužije ani jednu pravdepodobnosť. Namiesto váženia scenárov odstráni riziko zaistením.
Cena derivátu je funkcia $V(S,t)$ , a jej tri parciálne derivácie sú jediným obsahom rovnice.
$\Delta = V_S$ je jediná voľba, pri ktorej sa člen s $dW$ vyruší. Nie je to odhad, je to derivácia.
Vyrušenie odstráni náhodnosť aj $\mu$ naraz, lebo v Itôovej leme stoja pri tom istom mieste.
Bezrizikové portfólio musí zarábať $r$ , inak vzniká arbitráž. Odtiaľ vypadne rovnica.
$V_t + \tfrac12\sigma^2S^2V_{SS} + rSV_S - rV = 0$ je Black–Scholesova rovnica. Nie je v nej $\mu$ .
Rovnica opisuje dynamiku, koncová podmienka určuje produkt. Jedna rovnica, mnoho derivátov.
V praxi sa nedá prehedžovávať spojite, a rozdiel je presne to, čo meria gamma. Zostatok pri prehedžovaní je kladný v oboch smeroch pohybu.
Obe cesty dávajú $S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ . Nie sú to konkurenčné teórie, ale dva pohľady na jeden bezarbitrážny princíp.

Chapters

← Course overview

Chapter 11 of 17

Black–Scholesova rovnica

Tá istá cena druhou cestou: zaistením v spojitom čase, bez jedinej pravdepodobnosti.

19 minutes

Problém

Desiata kapitola dostala cenu opcie ako strednú hodnotu pod mierou $\mathbb{Q}$ . Bola to cesta cez pravdepodobnosť: zmeň váhy, spriemeruj, diskontuj.

Existuje aj druhá cesta a nepoužije ani jednu pravdepodobnosť.

Otázka, ktorou začína, znie: dá sa zložiť portfólio, v ktorom sa náhodnosť Brownovho pohybu úplne vyruší?

Cena derivátu ako funkcia

Začnime tým, čo vlastne hľadáme.

Cenová funkcia derivátu: $V = V(S, t)$
Hodnota derivátu závisí od dvoch vecí: od aktuálnej ceny podkladu $S$ a od času $t$ . Nič viac model nepripúšťa: nie od toho, ako sa cena k dnešnej úrovni dostala, ani od názoru investora.

Notácia parciálnych derivácií, ktorú budeme používať:

Zápis	Význam	Meno v trinástej kapitole
$V_t = \dfrac{\partial V}{\partial t}$	ako sa hodnota mení plynutím času, pri nezmenenej cene	théta
$V_S = \dfrac{\partial V}{\partial S}$	ako sa hodnota mení s cenou podkladu	delta
$V_{SS} = \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}$	ako rýchlo sa mení samotná delta	gamma

Tie tri veličiny budú za chvíľu jediným obsahom Black–Scholesovej rovnice.

Itôova lema na cenu derivátu

Podklad sa hýbe podľa

dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW

Všimnite si, že tu píšeme $\mu$ , nie $r$ . Sme pod skutočnou mierou; žiadnu zmenu miery v tejto kapitole nerobíme. To je práve to, čo robí druhú cestu nezávislou od prvej.

Aplikujme Itôovu lemu z ôsmej kapitoly na $V(S,t)$ :

dV = \left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt + \sigma S\,V_S\,dW

Prečítajme, čo tam stojí:

Člen pri $dt$ je predvídateľný. Skladá sa z plynutia času, z driftu podkladu a z Itôovej korekcie.

Člen pri $dW$ je náhodný a v celej rovnici je jediný. Jeho koeficient je $\sigma S\,V_S$ .

A práve ten jediný člen chceme odstrániť.

Zaisťovacie portfólio

Zaisťované portfólio: $\Pi = V - \Delta\,S$
Držíme jeden derivát a zároveň krátku pozíciu $\Delta$ akcií. (Ekvivalentne: derivát predáme a $\Delta$ akcií kúpime; znamienka sa len obrátia a záver je ten istý.)

Prečo práve takto? Lebo derivát aj akcia sú hnané tým istým $dW$ . Ak sa dá to $dW$ z jedného odčítať v správnej dávke druhým, zostane portfólio, ktoré sa nehýbe náhodne.

$\Delta$ zatiaľ nevieme. Nechajme ju ako neznámu a odvoďme, akú hodnotu musí mať.

Odvodenie deltu

Krok 1: zmena portfólia za nekonečne krátky čas.

d\Pi = dV - \Delta\,dS

Krok 2: dosadíme obe zmeny.

d\Pi = \left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt + \sigma S\,V_S\,dW - \Delta\left(\mu S\,dt + \sigma S\,dW\right)

Krok 3: pozbierame členy pri $dt$ a pri $dW$ zvlášť.

d\Pi = \underbrace{\left(V_t + \mu S\,V_S + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} - \Delta\mu S\right)}_{\text{predvídateľné}}dt + \underbrace{\sigma S\left(V_S - \Delta\right)}_{\text{náhodné}}dW

Krok 4: zvolíme $\Delta$ tak, aby náhodný člen zmizol.

Koeficient pri $dW$ je $\sigma S(V_S - \Delta)$ . Je nulový práve vtedy, keď

\boxed{\;\Delta = V_S\;}

Bezrizikové portfólio

Po tejto voľbe zostáva

d\Pi = \left(V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt

Všimnite si, čo z rovnice zmizlo spolu s $dW$ : oba členy s $\mu$ . Ten pri $V_S$ aj ten pri $\Delta$ sa vyrušili, lebo $\Delta = V_S$ .

Portfólio sa teraz mení úplne predvídateľne. Nenesie žiadne riziko.

d\Pi = r\Pi\,dt

Krok 5: dosadíme obe strany.

Ľavá strana je to, čo sme práve odvodili. Pravá strana je $r$ krát hodnota portfólia, teda $r(V - \Delta S) = r(V - S\,V_S)$ :

\left(V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS}\right)dt = r\left(V - S\,V_S\right)dt

Krok 6: vydelíme $dt$ a roznásobíme pravú stranu.

V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} = rV - rS\,V_S

Krok 7: prenesieme všetko na jednu stranu.

\boxed{\;V_t + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\,V_{SS} + rS\,V_S - rV = 0\;}

Toto je Black–Scholesova rovnica.

Čo v nej ktorý člen robí

Člen	Čo hovorí
$V_t$	opcia stráca hodnotu plynutím času
$\tfrac12\sigma^2S^2V_{SS}$	zakrivenie cenovej funkcie hodnotu pridáva, a tým viac, čím je podklad kolísavejší
$rS\,V_S$	držanie zaisťovacej pozície v akciách viaže kapitál, ktorý má cenu
$-rV$	samotný derivát predstavuje viazaný kapitál

Prvé dva členy sú tie, ktoré trinásta kapitola pomenuje ako thetu a gammu, a ich rovnováha je celý obsah obchodovania s opciami.

Prečo v rovnici nie je μ

Tip

Toto je najdôležitejšia veta celej štvrtej časti, a stojí za to ju prečítať dvakrát.

Očakávaný výnos akcie $\mu$ je nepochybne dôležitý pre toho, kto akciu drží. Rozhoduje o tom, či sa investícia oplatí.

Nie je to teda tak, že by model názory ignoroval. Názory sú už zarátané v dnešnej cene akcie, ktorá je vstupom modelu. Model len odmieta zarátať ich druhýkrát.

A všimnite si zhodu s deviatou kapitolou: tam $\mu$ zmizlo pri zmene miery, tu pri zaistení. Dva úplne odlišné dôvody, ten istý dôsledok.

Interaktívne: vyrušenie na vlastné oči

Krok 4 je jediné miesto, kde sa dá celé odvodenie spochybniť. Pozrite sa naň.

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Price move

-0.153.0%0.15

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

What cancels and what is left

Change in the option's value€1.93

Change in the hedge's value€1.87

Residual (uncancelled)€0.06

Estimate ½Γ(ΔS)²€0.06

The first two rows are nearly identical and the equation subtracts them. That subtraction is what removes the dW term from the portfolio, and it is the single step the whole derivation rests on.

Prvý riadok je to, čo urobí opcia. Druhý je to, čo urobí zaistenie. V rovnici sa odčítajú, a ako vidno, takmer sa vyrušia.

V odvodení ten zvyšok nie je preto, že sme pracovali s nekonečne malým pohybom, pri ktorom je druhý rád skutočne zanedbateľný oproti prvému. V praxi nekonečne malé pohyby nie sú.

Okrajové podmienky

Rovnica sama o sebe nestačí. Opisuje, ako sa hodnota vyvíja, ale nehovorí, o aký derivát ide.

Koncová podmienka

Pre európsku kúpnu opciu:

V(S, T) = \max(S - K,\, 0)

Pre predajnú:

V(S, T) = \max(K - S,\, 0)

Pre forward s dodacou cenou $K$ :

V(S, T) = S - K

Jedna rovnica, mnoho produktov. Rovnica opisuje dynamiku pred expiráciou, koncová podmienka určuje, čo sa pri expirácii stane. Zmeníte podmienku a dostanete iný derivát.

Interaktívne: hedžovanie po celý rok

Krok 4 platí v každom okamihu. Obchodník ale nemôže prehedžovávať spojite. Čo z toho vyplýva?

View

One move

A whole year

Option type

Call

Put

Share price S

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.11 yrs3

Number of rebalances

150250

Option value: €14.23
Delta: 0.6243
Shares held: 0.624
Gamma: 0.01265

Option and portfolio value at selected times
Time	Option	Portfolio
0	€14.23	€14.23
0.16	€16.16	€16.33
0.32	€21.49	€21.64
0.48	€14.72	€15.38
0.64	€6.08	€6.01
0.8	€5.08	€4.73
0.96	€0.16	€0.74

Option value
Hedge portfolio

Premium taken in: €14.23
Payoff at expiry: €0.00
Hedge value at the end: €1.00
Leftover: €1.00 (7.0% of the premium)

Watch delta too. It is not constant: it moves with the price and with the passing of time, which is precisely why the position has to be adjusted as it goes.

Predáme opciu za jej modelovú cenu, kúpime $\Delta$ akcií, zvyšok si požičiame a potom pozíciu $n$ krát počas roka upravíme. Na konci porovnáme, čo máme, s tým, čo musíme vyplatiť.

Čo vyskúšať:

Sledujte obe krivky. Hodnota opcie a hodnota zaisťovacieho portfólia idú spolu. Nie preto, že by sme ich k sebe nútili, ale preto, že zaistenie opciu naozaj replikuje.
Zvyšujte počet prehedžovaní. Zostatok na konci sa zmenšuje. Pri jednom prehedžovaní je typicky vyše polovice prémie, pri dvestopäťdesiatich rádovo pár percent.
Nikdy nedosiahne nulu. Odvodenie predpokladá spojité prehedžovanie a to nikto nerobí. Rozdiel medzi modelom a praxou je presne tento zostatok, a trinásta kapitola je o tom, koľko stojí.
Sledujte spodný graf. Delta nie je konštantná. Mení sa s cenou aj s ubiehajúcim časom, a preto sa musí pozícia priebežne upravovať. Statické zaistenie neexistuje.

Dve cesty, jedna cena

Máme dve odvodenia toho istého výsledku. Postavme ich vedľa seba.

	Martingálový prístup (kap. 10)	Replikačný prístup (kap. 11)
východisko	riziko-neutrálna miera $\mathbb{Q}$	zaistené portfólio $\Pi = V - \Delta S$
jazyk	pravdepodobnosť	zaisťovanie
kľúčový krok	Girsanov: $\mu \to r$	voľba $\Delta = V_S$
kde zmizne $\mu$	pri zmene miery	pri vyrušení náhodného členu
výsledok	$V_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{výplata}]$	$V_t + \tfrac12\sigma^2S^2V_{SS} + rSV_S - rV = 0$
čo je ľahšie	dostať číslo	dostať stratégiu
kedy je lepší	uzavreté vzorce, Monte Carlo	numerika, americké opcie
cena kúpnej opcie	$S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$	$S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$

Posledný riadok je pointa. Nejde o dve konkurenčné teórie, ale o dva pohľady na ten istý bezarbitrážny princíp z druhej kapitoly.

Cvičenia

Exercise

Quick check: koľko akcií proti opciám

Obchodník predal 100 kúpnych opcií na akciu za 100 €. Delta jednej opcie je 0,6243.

Koľko akcií musí kúpiť, aby bola pozícia zaistená, a akú hodnotu tie akcie majú?

Počet akcií

Hodnota akcií

€

Exercise

Quick check: čo sa vyruší

Tá istá opcia: $S = 100$ €, $\sigma = 30\ \%$ , $V_S = 0{,}6243$ .

Aký je koeficient pri $dW$ v rovnici pre samotnú opciu, teda $\sigma S V_S$ ? A aký je po tom, čo od nej odčítame zaistenie s $\Delta = V_S$ ?

Pred zaistením

Po zaistení

Exercise

Quick check: dvaja analytici

Akú cenu opcie dostane každý z nich z Black–Scholesovej rovnice?

Cena podľa A

€

Cena podľa B

€

Exercise

Overte rovnicu na konkrétnych číslach

Pre kúpnu opciu s $S = K = 100$ €, $\sigma = 30\ \%$ , $r = 5\ \%$ a rokom do expirácie platí: cena je 14,2313 €, delta 0,6243, gamma 0,0126478 a théta −8,1012 za rok.

Overte, že tieto čísla spĺňajú Black–Scholesovu rovnicu. Spočítajte obe strany rovnosti

\Theta + \tfrac{1}{2}\sigma^2S^2\Gamma = rV - rS\Delta

Ľavá strana

Pravá strana

Exercise

Jeden pohyb ceny

Tá istá opcia (14,2313 €, delta 0,6243). Akcia sa okamžite pohne zo 100 € na 103 €, pri nezmenenom čase. Nová hodnota opcie je 16,1597 €.

Spočítajte zmenu hodnoty opcie, zmenu hodnoty zaistenia a zvyšok, ktorý sa nevyrušil.

Zmena hodnoty opcie

€

Zmena hodnoty zaistenia

€

Zvyšok

€

Exercise

Postavenie zaisťovacej pozície

Obchodník predá 200 kúpnych opcií za modelovú cenu 14,2313 € za kus. Delta je 0,6243, akcia stojí 100 €.

Koľko inkasuje, koľko akcií kúpi, koľko za ne zaplatí a koľko si musí požičať?

Inkasovaná prémia

€

Počet akcií

Cena akcií

€

Potrebná pôžička

€

Exercise

Ktorý derivát rovnica opisuje

Rovnaká rovnica, iná okrajová podmienka. Uvažujme forward na akciu s dodaním o rok za dohodnutú cenu 100 €, teda výplatou $V(S,T) = S_T - 100$ .

Akú hodnotu má tento kontrakt dnes, ak akcia stojí 100 € a sadzba je 5 %?

Hodnota forwardu dnes

€

Exercise

Challenge: prečo je zvyšok vždy kladný

Tá istá opcia. Porovnajte dva pohyby: akcia sa pohne o +3 % a potom, v inom scenári, o −3 %.

Hodnoty opcie: pri 103 € je 16,1597 €, pri 97 € je 12,4166 €. Delta pred pohybom je 0,6243, gamma 0,0126478.

Spočítajte zvyšok v oboch prípadoch a odhad z gammy.

Zvyšok pri +3 %

€

Zvyšok pri −3 %

€

Odhad ½Γ(ΔS)²

€

Čo si zapamätať

Druhá cesta k tej istej cene nepoužije ani jednu pravdepodobnosť. Namiesto váženia scenárov odstráni riziko zaistením.
Cena derivátu je funkcia $V(S,t)$ , a jej tri parciálne derivácie sú jediným obsahom rovnice.
$\Delta = V_S$ je jediná voľba, pri ktorej sa člen s $dW$ vyruší. Nie je to odhad, je to derivácia.
Vyrušenie odstráni náhodnosť aj $\mu$ naraz, lebo v Itôovej leme stoja pri tom istom mieste.
Bezrizikové portfólio musí zarábať $r$ , inak vzniká arbitráž. Odtiaľ vypadne rovnica.
$V_t + \tfrac12\sigma^2S^2V_{SS} + rSV_S - rV = 0$ je Black–Scholesova rovnica. Nie je v nej $\mu$ .
Rovnica opisuje dynamiku, koncová podmienka určuje produkt. Jedna rovnica, mnoho derivátov.
V praxi sa nedá prehedžovávať spojite, a rozdiel je presne to, čo meria gamma. Zostatok pri prehedžovaní je kladný v oboch smeroch pohybu.
Obe cesty dávajú $S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ . Nie sú to konkurenčné teórie, ale dva pohľady na jeden bezarbitrážny princíp.

Chapters

← Course overview