Predpoklady, limity a čo ďalej

Kde sme

Sedemnásť kapitol viedlo k jednému vzorcu a k pochopeniu, prečo vyzerá tak, ako vyzerá. Zostáva posledná otázka, a je to tá, ktorou sa odlišuje človek, ktorý model používa, od človeka, ktorý mu verí:

Kedy platí a kedy nie?

Táto kapitola prejde predpoklady jeden po druhom. Nie preto, aby model zhodila: Black–Scholes je jeden z najúspešnejších modelov v dejinách aplikovanej matematiky a používa sa denne aj päťdesiat rokov po publikovaní. Ale používa sa s vedomím, kde praská, a to vedomie je posledná časť vzdelania.

Šesť predpokladov

1. Konštantná volatilita

Čo hovorí. $\sigma$ je jedno číslo, rovnaké pre všetky realizačné ceny a všetky expirácie.

Prečo bol potrebný. Bez neho by geometrický Brownov pohyb nemal riešenie v uzavretom tvare a Itôova lema by nedala jednoduchý výsledok.

Ako je to v skutočnosti. Volatilita sa mení v čase, zhlukuje sa (po pokojnom dni nasleduje pokojný, po divokom divoký), a rastie v prepadoch.

Ako veľmi to vadí. Veľmi. Pätnásta kapitola ukázala priamy dôkaz: keby bol tento predpoklad pravdivý, implikovaná volatilita by bola pre všetky realizačné ceny rovnaká. Nie je, a smile ani po štyridsiatich rokoch nezmizol.

2. Spojité cesty bez skokov

Čo hovorí. Cena sa pohybuje spojito, teda z 100 € na 95 € prejde cez všetky hodnoty medzitým.

Prečo bol potrebný. Celá siedma až deviata kapitola stojí na tom, že Brownov pohyb má spojité cesty. Bez spojitosti neplatí Itôova lema a delta zaisťovanie prestáva byť dokonalé.

Ako je to v skutočnosti. Ceny skáču. Otvorenie po výsledkovej správe, akvizícia, nečakané rozhodnutie centrálnej banky, otvorenie v pondelok po víkendovej udalosti.

Ako veľmi to vadí. Pri skoku prestáva zaisťovanie fungovať práve vtedy, keď ho najviac potrebujeme. Dvanásta kapitola odvodila, že zaistené portfólio je bezrizikové, lebo v malom kroku sa dá riziko odstrániť deltou. Skok nie je malý krok a delta ho nezachytí.

3. Spojité obchodovanie bez transakčných nákladov

Čo hovorí. Portfólio sa dá prevažovať nepretržite a zadarmo.

Prečo bol potrebný. Replikácia z jedenástej kapitoly je limitná predstava: čím častejšie prevažujem, tým presnejšia je. Vzorec zodpovedá limitu nekonečne častého prevažovania.

Ako je to v skutočnosti. Každý obchod stojí rozpätie medzi nákupnou a predajnou cenou, poplatok, a pri väčších objemoch aj vplyv na trh.

Ako veľmi to vadí. Vytvára to napätie, ktoré trinásta kapitola pomenovala: častejšie prevažovanie znižuje chybu replikácie, ale zvyšuje náklady. Optimum je niekde uprostred a nie je nulové. Dôsledok je, že skutočná cena zaistenia je vyššia než teoretická prémia, a preto sa opcie v praxi predávajú mierne drahšie, než vzorec hovorí.

4. Lognormálne rozdelenie výnosov

Čo hovorí. Logaritmy výnosov majú normálne rozdelenie.

Prečo bol potrebný. Je to priamy dôsledok geometrického Brownovho pohybu z desiatej kapitoly a je to dôvod, prečo sa integrál dá vypočítať a prečo vo vzorci vystupuje $N(\cdot)$.

Ako je to v skutočnosti. Skutočné výnosy majú ťažšie chvosty. Extrémne pohyby sú omnoho častejšie, než normálne rozdelenie pripúšťa.

Číselne: normálne rozdelenie dáva päťsigmovému dennému pohybu pravdepodobnosť $5{,}7 \cdot 10^{-7}$, teda jeden raz za zhruba 6 900 rokov obchodovania. Na skutočných akciových trhoch sa taký pohyb vyskytne niekoľkokrát za desaťročie.

Ako veľmi to vadí. Podceňuje to riziko krajných scenárov, a teda cenu ochrany proti nim. Presne preto sú predajné opcie hlboko mimo peňazí na trhu drahšie, než by model chcel, a presne preto má smile ten tvar, ktorý má.

5. Jedna bezriziková sadzba na požičanie aj uloženie

Čo hovorí. Peniaze sa dajú požičať aj uložiť za tú istú sadzbu $r$, ktorá je navyše konštantná a známa.

Prečo bol potrebný. Bezarbitrážne argumenty z prvej a jedenástej kapitoly potrebujú, aby replikačné portfólio mohlo mať aj zápornú hotovostnú zložku za tú istú cenu.

Ako je to v skutočnosti. Požičať si je drahšie než uložiť, sadzby sa menia, a pri dlhých splatnostiach je rozdiel viditeľný.

Ako veľmi to vadí. Pre akciové opcie s krátkou splatnosťou je to najmenej škodlivý predpoklad zo šiestich: pri roku a rozdiele desatiny percentuálneho bodu ide o centy. Pre dlhé úrokové deriváty je naopak zásadný a existuje pre ne celá vlastná trieda modelov.

6. Podklad bez dividend

Čo hovorí. Akcia počas života opcie nič nevypláca.

Prečo bol potrebný. Zjednodušuje bezarbitrážny vzťah medzi spotovou a forwardovou cenou.

Ako je to v skutočnosti. Väčšina veľkých akcií dividendy vypláca a indexy tiež.

Ako veľmi to vadí. Najmenej zo všetkých, lebo je to jediný z tejto šestice, ktorý má presnú opravu. Merton ju publikoval v tom istom roku ako pôvodný článok: pri spojitom dividendovom výnose $q$ stačí v celom vzorci nahradiť $S_0$ za $S_0e^{-qT}$ a všetko ostatné zostane. Štrnásta kapitola spomenula aj druhý dôsledok dividend, a to skoré uplatnenie americkej kúpnej opcie.

Kde Black–Scholes funguje dobre

Zoznam predpokladov znie tvrdo a bolo by ľahké skončiť s dojmom, že model je zlý. Nie je, a stojí za to povedať prečo.

Pri opciách na peniazoch a s krátkou splatnosťou sedí veľmi dobre. Práve tam je smile najplochejší a modelová cena je blízko trhovej.

Ako jazyk trhu je nenahraditeľný. Pätnásta kapitola to rozviedla: nikto nekótuje opcie v eurách, kótujú sa v implikovanej volatilite. Vzorec je prevodník, a ako prevodník funguje bezchybne, lebo je monotónny a spojitý.

Ako zdroj grékov je stále štandardom. Aj obchodník, ktorý oceňuje sofistikovanejším modelom, sa pozerá na Black–Scholesovu deltu a vegu, lebo je to spoločná mena, ktorej rozumejú všetci.

Ako myšlienková konštrukcia je správny. A toto je najdôležitejšie. Bezarbitrážny princíp, replikácia, riziko-neutrálne oceňovanie, martingál: nič z toho nie je predpoklad, ktorý by realita vyvracala. Sú to dôsledky logiky. Modely, ktoré prišli po Black–Scholesovi, ich nezahodili, iba ich aplikovali na iný proces.

Smile ako dôkaz

Stojí za to ešte raz pomenovať, čo presne smile dokazuje, lebo je to najčistejší príklad toho, ako sa model konfrontuje s dátami.

Vezmeme trhové ceny opcií s rôznymi realizačnými cenami. Do vzorca dosadíme cenu a vyriešime pre $\sigma$. Ak by bol model pravdivý, vyšlo by zakaždým to isté číslo, lebo podkladová akcia má len jednu volatilitu.

Nevyjde. Vyjde krivka. To znamená, že trh oceňuje opcie podľa rozdelenia, ktoré nie je lognormálne s konštantným $\sigma$.

Smile teda nie je chyba merania ani anomália. Je to presne zameraná spätná väzba: hovorí nám, v ktorom mieste sa modelový svet líši od skutočného, a dokonca aj ako. Vyššia implikovaná volatilita pri nízkych realizačných cenách znamená, že trh pripisuje veľkým prepadom väčšiu pravdepodobnosť, než by model dal.

Čo prišlo po Black–Scholesovi

Každá z troch vážnych výhrad má svoju vetvu literatúry. Všetky stoja na tej istej konštrukcii, cez ktorú sme prešli.

Lokálna volatilita

Opravuje: konštantnú volatilitu.

Volatilita sa stane funkciou ceny a času, $\sigma(S, t)$, teda stále deterministickou, ale premenlivou. Dupire (1994) ukázal, že z trhových cien opcií pre všetky realizačné ceny a splatnosti sa dá taká funkcia jednoznačne odvodiť.

Silná stránka: reprodukuje dnešný smile presne, takže model súhlasí s každou pozorovanou cenou.

Slabá stránka: predpovedá, ako sa bude smile vyvíjať, a predpovedá to zle.

Stochastická volatilita

Opravuje: konštantnú volatilitu, ale inak.

Volatilita dostane vlastný náhodný proces, teda vlastnú stochastickú diferenciálnu rovnicu vedľa rovnice pre cenu. Heston (1993) je najznámejší:

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{v_t}\,S_t\,dW_t^{(1)}$$ $$dv_t = \kappa(\theta - v_t)\,dt + \xi\sqrt{v_t}\,dW_t^{(2)}$$

Prvá rovnica je stará známa, len s premenlivou volatilitou. Druhá hovorí, že rozptyl $v_t$ sa vracia k dlhodobej úrovni $\theta$ rýchlosťou $\kappa$ a sám kolíše s intenzitou $\xi$. Oba Brownove pohyby sú korelované, a záporná korelácia je práve to, čo vytvára asymetrický skew.

Silná stránka: vysvetľuje smile z mechanizmu, nie ho len napodobní, a Heston má polouzavreté riešenie.

Slabá stránka: trh je neúplný, lebo volatilita sa nedá obchodovať priamo, takže dokonalá replikácia z jedenástej kapitoly už neexistuje a cena nie je určená jednoznačne.

Skokové modely

Opravujú: spojitosť ciest a ťažké chvosty.

K difúzii sa pridá Poissonov proces, ktorý v náhodných okamihoch spôsobí náhly pohyb. Merton (1976) je pôvodná verzia:

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t + S_{t^-}\,dJ_t$$

Prvé dva členy sú geometrický Brownov pohyb, tretí je skoková zložka.

Silná stránka: ťažké chvosty vzniknú prirodzene, a smile pri krátkych splatnostiach, ktorý difúzne modely nedokážu urobiť dosť strmým, vyjde správne.

Slabá stránka: opäť neúplný trh, a skokové riziko sa nedá odstrániť žiadnym zaistením.

Lévyho procesy

Opravujú: tvar rozdelenia ako taký.

Najvšeobecnejšia vetva. Brownov pohyb sa nahradí širšou triedou procesov s nezávislými a stacionárnymi prírastkami, ktoré môžu mať ľubovoľne ťažké chvosty a nekonečne veľa malých skokov.

Silná stránka: rozdelenie výnosov sa dá napasovať na dáta oveľa lepšie.

Slabá stránka: matematicky náročné a interpretačne menej názorné.

Štyri riziká, ktoré netreba zamieňať

Model je len jeden zdroj problémov a je užitočné vedieť ho odlíšiť od ostatných.

Trhové riziko je riziko, že sa pohnú ceny. Práve to merajú gréci z trinástej kapitoly a práve proti tomu sa zaisťuje. Je najlepšie pochopené zo štyroch.

Modelové riziko je riziko, že model je nesprávny. Nedá sa zaistiť, lebo zaistenie sa počíta z toho istého modelu. Meria sa opakovaným ocenením za iných predpokladov: rovnaká opcia pri volatilite 30 % stojí 14,23 €, pri 35 % stojí 16,13 €. Rozdiel 1,90 €, teda 13 % ceny, nie je pohyb trhu. Je to neistota v jednom čísle, ktoré nikto nepozoruje.

Riziko likvidity je riziko, že pozíciu nebude možné zavrieť za cenu, ktorú model ukazuje. Model predpokladá, že sa dá obchodovať kedykoľvek a v akomkoľvek objeme. V napätom trhu sa rozpätia rozšíria práve vtedy, keď treba zaisťovať najviac.

Kreditné riziko protistrany je riziko, že protistrana nezaplatí. Pri burzovo obchodovaných opciách ho preberá zúčtovacia inštitúcia, pri mimoburzových obchodoch zostáva. Rok 2008 ukázal, že táto položka nie je technický detail.

Derivátové laboratórium

Posledný nástroj kurzu nepridáva novú myšlienku. Dáva vedľa seba všetko, čo sme postavili, aby bolo vidieť, že to drží pokope.

Derivatives lab

The whole course in one place. Every figure is computed by the same function the relevant chapter derived.

Option type

Call

Put

Share price S₀

10€100.00200

Strike price K

10€100.00200

Time to expiry T

0.051 yrs3

Volatility σ

0.0530.00%1

Risk-free rate r

05.00%0.15

Market price (optional)

€

Price and Greeks

€14.23

Delta

0.6243

Gamma

0.01265

Vega

0.3794

Theta

-0.0222

Rho

0.4819

Theta per day, vega and rho per percentage point.

Breakdown of the price

Intrinsic value

€0.00

Time value

€14.23

C − P

€4.88

S₀ − Ke^(−rT)

€4.88

Three methods, one option

Closed form

€14.23

Binomial tree (200 steps)

€14.22

Monte Carlo (20,000)

€14.47 ± €0.16

American version

€14.22 (Early-exercise premium €0.00)

Implied volatility

Type a market price and the model runs backwards.

Payoff, profit and value today

• Value today
• Profit after the premium
• Payoff at expiry

Payoff and profit differ by a constant, the premium paid. That is why the break-even is not the strike. The smooth curve is the value before expiry and settles onto the kinked line as time runs out.

Čo si v ňom všimnúť:

1. Cena z troch metód. Vzorec, strom a simulácia dávajú tú istú hodnotu, každý so svojou chybou. Šestnásta kapitola vysvetlila prečo.
2. Gréci sa menia spolu s cenou. Posuňte cenu akcie a sledujte deltu: pri hlbokom v peniazoch ide k jednej, pri hlbokom mimo k nule. Trinásta kapitola to odvodila.
3. Put-call parita sedí vždy. Zmeňte čokoľvek. Rozdiel medzi opčnou a forwardovou stranou zostane nulový, lebo parita nie je výsledok modelu, ale bezarbitrážny vzťah zo štvrtej kapitoly.
4. Zadajte trhovú cenu. Nástroj z nej dopočíta implikovanú volatilitu. Zadajte cenu vyššiu, než model dáva, a implikovaná volatilita vyskočí nad zadanú $\sigma$. Presne takto trh hovorí, že s modelom nesúhlasí.
5. Americká oproti európskej. Prepnite na predajnú opciu a sledujte prémiu za skoré uplatnenie. Pri kúpnej bez dividend je nulová.

Časté nedorozumenia

„Model je vyvrátený, lebo predpoklady neplatia."

Predpoklady neplatia u žiadneho modelu. Otázka nie je, či sú pravdivé, ale či sú dosť dobré na danú úlohu. Newtonova mechanika tiež nie je pravdivá a mosty na nej stoja.

„Smile znamená, že vzorec sa nemá používať."

Znamená pravý opak. Smile sa dá vôbec nakresliť len preto, že vzorec existuje a používa sa ako prevodník medzi cenou a volatilitou.

„Zložitejší model je presnejší."

Zložitejší model má viac parametrov, ktoré treba odhadnúť z dát. Každý odhadnutý parameter je nový zdroj chyby. Model s piatimi voľnými parametrami napasovaný na dnešné ceny môže byť zajtra horší než Black–Scholes s jedným.

„Riziko sa dá zaistiť."

Trhové riziko áno, a aj to len približne. Modelové, likviditné a kreditné riziko sa zaistiť nedá, lebo neležia v premenných, s ktorými model pracuje.

„Implikovaná volatilita je predpoveď budúcej volatility."

Je to číslo, ktoré po dosadení do vzorca dá trhovú cenu. Obsahuje očakávanie budúcej volatility a prémiu za jeho neistotu a nerovnováhu ponuky a dopytu. Pätnásta kapitola to rozviedla.

Záverečné cvičenia

Exercise

Quick check: ktorý predpoklad

Implikovaná volatilita vychádza pre rôzne realizačné ceny rôzne.

Ktorý z predpokladov to priamo vyvracia? Zadajte 1 pre konštantnú volatilitu, 2 pre spojité cesty, 3 pre podklad bez dividend.

Predpoklad

Check

Exercise

Quick check: ťažké chvosty v číslach

Pod normálnym rozdelením má denný pohyb väčší než päť smerodajných odchýlok pravdepodobnosť $5{,}73 \cdot 10^{-7}$.

Ako často by k nemu podľa modelu došlo, ak má rok 252 obchodných dní? Zadajte odpoveď v rokoch.

Raz za koľko rokov

rokov

Check

Exercise

Quick check: čo modely po Black–Scholesovi zmenili

Heston, Merton a Dupire menia predpoklad o procese podkladu.

Menia aj samotný princíp oceňovania, teda že cena je diskontovaná stredná hodnota výplaty pod riziko-neutrálnou mierou? Zadajte 1 pre áno, 0 pre nie.

Menia princíp

Check

Exercise

Celý oblúk na jednom príklade

Akcia stojí 100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok do expirácie.

Poskladajte dokopy, čo ste sa naučili: aká je cena kúpnej opcie podľa vzorca, aká je jej vnútorná hodnota a aká časová?

Cena kúpnej opcie

€

Vnútorná hodnota

€

Časová hodnota

€

Check

Exercise

Ktorý nástroj použiť

Priraďte správny nástroj: potrebujete oceniť (a) európsku kúpnu opciu na akciu bez dividend, (b) americkú predajnú opciu, (c) ázijskú opciu na priemernú cenu za rok.

Koľko z týchto troch zvládne uzavretý Black–Scholesov vzorec, koľko binomický strom a koľko Monte Carlo?

Vzorec zvládne

z 3

Strom zvládne

z 3

Monte Carlo zvládne

z 3

Check

Exercise

Modelové riziko v eurách

Oceňujete tú istú opciu (100 €, realizačná cena 100 €, sadzba 5 %, rok) raz s volatilitou 30 % a raz s 35 %, lebo ktorú z nich použiť neviete.

Ceny sú 14,23 € a 16,13 €. Aký je rozdiel v eurách a koľko percent pôvodnej ceny predstavuje?

Rozdiel

€

Podiel z ceny

%

Check

Exercise

Parita nezávisí od modelu

Kúpna opcia z predchádzajúceho príkladu stojí 14,2313 €. Podklad je 100 €, realizačná cena 100 €, sadzba 5 %, rok.

Aká je cena predajnej opcie s tými istými parametrami?

Cena predajnej opcie

€

Check

Exercise

Challenge: opraviť alebo neopraviť

Pre každý z troch problémov rozhodnite, či sa dá vyriešiť presnou opravou v rámci Black–Scholesa, alebo si vyžaduje iný model:

(a) podklad vypláca známu spojitú dividendu 2 % ročne, (b) cena občas skočí o desať percent na správe, (c) implikovaná volatilita je pri nízkych realizačných cenách vyššia.

Koľko z týchto troch sa dá vyriešiť presnou opravou v rámci pôvodného modelu?

Riešiteľných opravou

z 3

Check

Odporúčaná literatúra

Baxter a Rennie, Financial Calculus (1996) je najprístupnejší úvod do martingálového prístupu a sleduje presne poradie druhej až štvrtej časti tohto kurzu.

Hull, Options, Futures and Other Derivatives je štandardná referencia so širším pokrytím produktov a trhov.

Björk, Arbitrage Theory in Continuous Time je matematicky najprísnejší.

Z pôvodných prác stoja za prečítanie Black a Scholes (1973), Merton (1973) a Cox, Ross a Rubinstein (1979), posledná je zdrojom stromu z piatej kapitoly. K témam tejto kapitoly potom Merton (1976) pre skoky, Dupire (1994) pre lokálnu volatilitu a Heston (1993) pre stochastickú.

Celý kurz na jednej stránke

Sedemnásť kapitol nebolo sedemnásť tém. Bol to jeden argument, postavený tak, aby každý krok potreboval ten predchádzajúci.

Čo si zapamätať

1. Black–Scholes stojí na šiestich predpokladoch a ani jeden z nich nie je presne pravdivý.
2. Nie sú rovnako vážne. Dividendy a rozdiel v sadzbách sa opravia presne. Konštantná volatilita, skoky a ťažké chvosty vyžadujú iný model.
3. Smile je najčistejší dôkaz toho, že prvý predpoklad neplatí, a zároveň nástroj, ktorým sa s tým pracuje.
4. Model je napriek tomu úspešný, lebo je presný na peniazoch, funguje ako jazyk trhu a dáva gréky, ktorým rozumejú všetci.
5. Konštrukcia prežila výhrady voči vzorcu. Bezarbitrážny princíp, replikácia a riziko-neutrálne oceňovanie sú dôsledky logiky, nie predpoklady o svete.
6. Nasledovníci menia proces, nie schému. Lokálna volatilita, Heston, skoky a Lévyho procesy postupujú rovnako, len s inou rovnicou na začiatku.
7. Trhové riziko model meria. Modelové, likviditné a kreditné nie. Zaistiť sa dá prvé, a aj to len približne.
8. Zložitejší nie je automaticky lepší. Každý odhadovaný parameter je nový zdroj chyby.
9. Rozlišujte, čo od modelu závisí a čo nie. Put-call parita platí vždy, cena kúpnej opcie nie. Toto rozlíšenie je zhrnutie celého kurzu.