Itôov kalkul a Itôova lema

Problém

Siedma kapitola skončila rovnicou, ktorú vieme napísať a nevieme vyriešiť:

$$dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$$

Chceme z nej dostať vzorec pre $S_T$. V bežnom kalkule by to bol rutinný krok: vydelili by sme $S$, zderivovali logaritmus a integrovali. Skúsme to.

Ak $y = f(x)$, potom malá zmena $x$ vyvolá zmenu

$$dy \approx f'(x)\,dx$$

Toto je prvý rád Taylorovho rozvoja a v bežnom kalkule stačí, lebo všetky ďalšie členy sú zanedbateľne malé.

Ale čo ak $x$ obsahuje Brownov pohyb?

Práve sme sa v predchádzajúcej kapitole dozvedeli, že taká trajektória nemá deriváciu. Vzorec $dy \approx f'(x)\,dx$ pritom stojí na tom, že sa funkcia dá lokálne nahradiť priamkou. Ak žiadna priamka neexistuje, celý postup je od začiatku neplatný.

Táto kapitola ukáže, čo presne sa pokazí, prečo sa to pokazí a čím sa to nahradí. Výsledok, Itôova lema, je jediný matematický nástroj, ktorý zvyšok kurzu naozaj potrebuje.

Prečo bežný kalkulus zlyháva

Vezmime obyčajný Taylorov rozvoj do druhého rádu:

$$df = f'(x)\,dx + \frac{1}{2}f''(x)\,(dx)^2 + \dots$$

V bežnom kalkule sa druhý člen zahadzuje, a je to legitímne. Ak je $x$ hladká funkcia času, potom $dx$ je rádu $dt$, takže $(dx)^2$ je rádu $dt^2$. Pri $dt \to 0$ je $dt^2$ nekonečne krát menšie než $dt$, a čo je nekonečne krát menšie než to, čo si necháme, sa smie zahodiť.

Celá otázka teda znie: akého rádu je $(dW)^2$?

Zo siedmej kapitoly vieme, že $\Delta W$ je rádu $\sqrt{\Delta t}$. Takže

$$(\Delta W)^2 \sim \left(\sqrt{\Delta t}\right)^2 = \Delta t$$

Nie $\Delta t^2$. $\Delta t$. Ten istý rád ako členy, ktoré si necháme.

Druhý člen Taylorovho rozvoja teda nemôžeme zahodiť. To je celý problém a zároveň celé jeho riešenie.

Kvadratická variácia

Predchádzajúca úvaha bola o rádoch veličín. Overme ju meraním.

Rozdeľme interval $[0,T]$ na $n$ dielikov a spočítajme súčet štvorcov prírastkov:

$$\sum_{i=1}^{n} \left(\Delta W_i\right)^2$$

Tejto veličine sa hovorí kvadratická variácia. Urobme to isté aj pre bežnú hladkú funkciu, aby bolo s čím porovnávať.

Number of pieces n

101002000

New path

Brownian motion

Σ |ΔX| (sum of lengths)

7.8

Σ (ΔX)² (sum of squares)

0.961

A smooth function (sine)

Σ |ΔX| (sum of lengths)

7.98

Σ (ΔX)² (sum of squares)

0.789

How the two sums behave as the mesh refines

The sums at various mesh sizes

n	BM: Σ|ΔW|	BM: Σ(ΔW)²	Smooth: Σ|Δf|	Smooth: Σ(Δf)²
10	1.5	0.397	7.6	6.91
50	4.7	0.726	8	1.571
250	11.8	0.894	8	0.316
1000	24.4	0.949	8	0.079
5000	56	0.989	8	0.016

What follows from this

For the smooth function the sum of squares falls towards zero. That is exactly why an ordinary Taylor expansion is allowed to discard its second-order term. For Brownian motion the sum of squares sits on the elapsed time and stays there however finely the pieces are cut. Writing (dW)² = dt is shorthand for that measurement, not an algebraic equality between two numbers.

Look at the left column too. For Brownian motion the sum of lengths grows without bound as the mesh refines, while the sum of squares does not move. A curve of infinite length with finite quadratic variation has no derivative, and that is precisely why a different calculus is needed.

Posúvajte počet dielikov a sledujte tabuľku. Dve veci, ktoré sa dejú súčasne:

Pri hladkej funkcii súčet štvorcov klesá k nule. Každý prírastok je rádu $\Delta t$, jeho štvorec rádu $\Delta t^2$, a takých je $n = T/\Delta t$. Súčet je teda rádu $T\Delta t$, čo pri jemnení ide k nule. Presne toto oprávňuje zahodiť druhý rád v bežnom Taylorovom rozvoji.

Pri Brownovom pohybe súčet štvorcov stojí na hodnote $T$. Každý prírastok je rádu $\sqrt{\Delta t}$, jeho štvorec rádu $\Delta t$, a takých je $T/\Delta t$. Súčin je $T$, nezávisle od jemnosti delenia. Číslo sa jednoducho odmieta hýbať.

Pozrite sa aj na ľavý stĺpec, teda na súčet absolútnych prírastkov. Pri Brownovom pohybe rastie bez hranice, kým súčet štvorcov stojí. Krivka nekonečnej dĺžky s konečnou kvadratickou variáciou je presne to, čo nemá deriváciu.

Kvadratická variácia Brownovho pohybu

Pre Brownov pohyb platí

$$\sum_{i=1}^{n} \left(\Delta W_i\right)^2 \;\longrightarrow\; T \qquad \text{pri } n \to \infty$$

a to nielen v priemere, ale pre takmer každú jednotlivú trajektóriu.

To posledné je pozoruhodné a stojí za zdôraznenie. Nejde o tvrdenie o strednej hodnote, akých je v pravdepodobnosti veľa. Kvadratická variácia je pre konkrétnu dráhu deterministická: hoci je celá trajektória náhodná, súčet štvorcov jej prírastkov vyjde vždy rovnako. Práve preto sa dá s ním počítať ako s obyčajným číslom.

Pravidlo (dW)² = dt

Predchádzajúce meranie sa zvykne zapísať skratkou:

$$\boxed{\;(dW)^2 = dt\;}$$

Z tej istej úvahy o rádoch vyplývajú aj ďalšie dve pravidlá.

Itôove pravidlá

Pri roznásobovaní diferenciálov platia tri pravidlá:

$$(dt)^2 = 0, \qquad dt\,dW = 0, \qquad (dW)^2 = dt$$

Prečo tie prvé dve:

$(dt)^2 = 0$. Rád $dt^2$ je nekonečne krát menší než $dt$. Toto pravidlo platilo aj v bežnom kalkule, len sa nikdy nepísalo.

$dt\,dW = 0$. Súčin je rádu $dt \cdot \sqrt{dt} = dt^{3/2}$, čo je stále menšie než $dt$. Aj tento člen sa zahodí.

$(dW)^2 = dt$. Rád $\sqrt{dt}^2 = dt$. Ten istý ako členy, ktoré si necháme, a preto jediný, ktorý prežije.

Vyzerá to ako tri pravidlá na zapamätanie. V skutočnosti je to jedna úvaha: spočítaj mocninu $dt$ a zahoď všetko, čo je vyššieho rádu než $dt$. Novinkou oproti bežnému kalkulu je len to, že $dW$ sa počíta ako $dt^{1/2}$.

Itôov proces

Aby sa lema dala vysloviť všeobecne, potrebujeme pomenovať triedu procesov, na ktoré sa aplikuje.

Itôov proces

$$dX_t = \mu_t\,dt + \sigma_t\,dW_t$$

$\mu_t$ je drift, teda predvídateľná časť pohybu za jednotku času.

$\sigma_t$ je volatilita, teda to, akou silou náhoda na proces pôsobí.

$dW_t$ je náhodný šok, prírastok Brownovho pohybu.

Rozklad na dve časti sa oplatí čítať doslova:

Keby bola $\sigma_t = 0$, bola by rovnica obyčajnou diferenciálnou rovnicou a nič z tejto kapitoly by nebolo potrebné.

Náš prípad, geometrický Brownov pohyb, je Itôov proces s $\mu_t = \mu S_t$ a $\sigma_t = \sigma S_t$.

Od Taylora k Itôovej leme

Toto je najdôležitejšie odvodenie v celom kurze. Ide o šesť krokov a ani jeden sa nepreskočí.

Máme funkciu $f(t, X_t)$, kde $X$ je Itôov proces.

Krok 1: Taylorov rozvoj do druhého rádu.

$$df = \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{\partial f}{\partial x}\,dX + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(dX)^2 + \dots$$

Zatiaľ nič nezvyčajné. Ostatné členy (tretí rád a členy s $(dt)^2$, $dt\,dX$) sú vyššieho rádu a zahodíme ich.

Krok 2: dosadíme, čo je $dX$.

$$dX = \mu\,dt + \sigma\,dW$$

Krok 3: roznásobíme $(dX)^2$.

$$(dX)^2 = \left(\mu\,dt + \sigma\,dW\right)^2 = \mu^2(dt)^2 + 2\mu\sigma\,dt\,dW + \sigma^2(dW)^2$$

Krok 4: použijeme Itôove pravidlá.

Prvý člen zmizne, lebo $(dt)^2 = 0$. Druhý zmizne, lebo $dt\,dW = 0$. Tretí prežije, lebo $(dW)^2 = dt$:

$$(dX)^2 = \sigma^2\,dt$$

Toto je jediné miesto, kde sa kalkul odlišuje od toho školského. Všetko ostatné je bežná algebra.

Krok 5: dosadíme späť do rozvoja.

$$df = \frac{\partial f}{\partial t}\,dt + \frac{\partial f}{\partial x}\left(\mu\,dt + \sigma\,dW\right) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sigma^2\,dt$$

Krok 6: pozbierame členy pri $dt$ a pri $dW$.

$$\boxed{\;df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma\frac{\partial f}{\partial x}\,dW\;}$$

To je Itôova lema.

Čo v nej ktorý člen robí

$\dfrac{\partial f}{\partial t}$: zmena z toho, že plynie čas, aj keby sa $X$ nehýbalo.

$\mu\dfrac{\partial f}{\partial x}$: zmena z driftu podkladu, presne to, čo by dala reťazová derivácia.

$\dfrac{1}{2}\sigma^2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$: Itôova korekcia. Člen, ktorý v bežnom kalkule neexistuje. Je tam preto, a len preto, že $(dW)^2 = dt$.

$\sigma\dfrac{\partial f}{\partial x}\,dW$: náhodná zložka výsledku. Všimnite si, že v nej druhá derivácia nie je; korekcia pôsobí len na drift.

Pre geometrický Brownov pohyb

Dosadením $\mu_t = \mu S$ a $\sigma_t = \sigma S$ dostaneme tvar, v ktorom sa lema v tomto kurze používa najčastejšie:

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW$$

Tento tvar sa objaví znovu v jedenástej kapitole, kde z neho vypadne Black-Scholesova diferenciálna rovnica.

Tri príklady

Príklad 1: druhá mocnina Brownovho pohybu

Zoberme $f(W) = W^2$, teda $X = W$ s $\mu = 0$ a $\sigma = 1$.

$$\frac{\partial f}{\partial W} = 2W, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial W^2} = 2, \qquad \frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

Dosadením:

$$d(W^2) = \left(0 + 0 \cdot 2W + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2\right)dt + 1 \cdot 2W\,dW$$ $$\boxed{\;d(W^2) = 2W\,dW + dt\;}$$

Bežný kalkulus by dal len $2W\,dW$. Ten člen $dt$ by v ňom neexistoval, a nie je malý: znamená, že $\mathbb{E}[W_t^2]$ rastie rýchlosťou 1 za jednotku času, teda že $\mathbb{E}[W_t^2] = t$. To je presne rozptyl, ktorý poznáme z definície.

Klasický kalkulus by teda tvrdil, že rozptyl Brownovho pohybu je konštantný. To je zjavne nepravda, a je to najkratší dôkaz, že sa tu bez Itôa nezaobídeme.

Príklad 2: logaritmus ceny

Itôova lema na logaritme ceny

Zoberme $f = \ln S$, kde $S$ je geometrický Brownov pohyb. Potom $\frac{\partial f}{\partial S} = \frac{1}{S}$, $\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = -\frac{1}{S^2}$ a $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$. Dosadením:

$$d(\ln S) = \left(\mu S \cdot \frac{1}{S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \cdot \left(-\frac{1}{S^2}\right)\right)dt + \sigma S \cdot \frac{1}{S}\,dW$$$$d(\ln S) = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma\,dW$$

Logaritmus ceny má teda konštantný drift aj volatilitu, takže je normálne rozdelený a cena je lognormálna, presne to, k čomu dospel strom.

Člen $-\sigma^2/2$ je Itôova korekcia a je dôvodom, prečo priemerný a mediánový výnos investície nie sú to isté číslo.

Toto je najdôležitejší jednotlivý výsledok tretej časti. Všimnite si, čo sa stalo: pravá strana nezávisí od $S$. Logaritmus ceny je teda obyčajný Brownov pohyb s driftom, a ten vieme integrovať:

$$\ln S_T = \ln S_0 + \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_T$$

a teda

$$S_T = S_0 \exp\!\left[\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma W_T\right]$$

Rovnica zo siedmej kapitoly je vyriešená. Toto je vzorec, ktorý simuluje každý Monte Carlo model v šestnástej kapitole a z ktorého sa v dvanástej odvodí Black-Scholesov vzorec.

Príklad 3: opačný smer

Krokový nástroj

Nasledujúci nástroj prevedie lemu krok za krokom pre štyri funkcie a dva typy procesu. Sledujte najmä piaty krok: modrý údaj je to, čo by dala reťazová derivácia, ružový je Itôova korekcia.

Function f

X²

ln X

e^X

√X

Process X

Arithmetic: dX = μ dt + σ dW

Geometric: dS = μS dt + σS dW

The coefficients are constant. With μ = 0 and σ = 1 this is Brownian motion itself, which is how the classic f(W) = W² example is posed.

Level of the process X

0.53200

Drift μ

-0.501

Volatility σ

011.5

1. 1. The process the lemma is applied to

   dX = μ dt + σ dW

2. 2. The function and its derivatives

   f(X) = X^2

   value 9

   f'(X) = 2X

   value 6

   f''(X) = 2

   value 2

3. 3. The process coefficients at this level

   a = μ

   value 0

   b = σ

   value 1

4. 4. Itô's lemma

   df = (f'(X) a + ½ f''(X) b²) dt + f'(X) b dW

5. 5. Substitution

   df = (6 · 0 + ½ · 2 · 1²) dt + 6 · 1 dW

   What ordinary calculus would give

   0

   Itô correction

   1100% correction as a share of the drift

   The left term is all the chain rule would produce. The middle one would not exist in ordinary calculus, where (dX)² is of order dt² and gets discarded. Here it is of order dt, so it stays.

6. 6. Result

   df = (2μX + σ²) dt + 2σX dW
   df = 1 dt + 6 dW

   Drift of the result (coefficient of dt)

   1

   Random part (coefficient of dW)

   6

Nástroj je nastavený presne na príklad 1: $f = X^2$, aritmetický proces, $\mu = 0$, $\sigma = 1$. Modrý údaj v piatom kroku je nula, ružový je 1, takže celý drift výsledku je čistá Itôova korekcia.

Čo vyskúšať:

1. Prepnite funkciu na $\sqrt{X}$. Korekcia zmení znamienko, lebo druhá derivácia odmocniny je záporná. Zakrivenie funkcie rozhoduje o tom, ktorým smerom korekcia ťahá: pri konvexnej nahor, pri konkávnej nadol.
2. Nastavte $\sigma$ na nulu. Korekcia zmizne a lema sa scvrkne na obyčajnú reťazovú deriváciu. Bez náhodnosti niet čo opravovať.
3. Zvyšujte $\sigma$ a sledujte podiel korekcie na drifte. Rastie s druhou mocninou, takže pri realistických volatilitách nejde o zaokrúhľovaciu drobnosť, ale o veľkú časť odpovede.

Ten istý nástroj na cene akcie

Druhá inštancia je nastavená na príklad 2: logaritmus ceny akcie, ktorá stojí 100 €, má očakávaný výnos 10 % a volatilitu 30 %.

Function f

S²

ln S

e^S

√S

Process X

Arithmetic: dX = μ dt + σ dW

Geometric: dS = μS dt + σS dW

The coefficients are proportional to the level. This is the share price from the end of chapter 7 and the process the rest of the course rests on.

Level of the process S

0.5100200

Drift μ

-0.50.11

Volatility σ

00.31.5

1. 1. The process the lemma is applied to

   dS = μS dt + σS dW

2. 2. The function and its derivatives

   f(S) = \ln S

   value 4.6052

   f'(S) = \dfrac{1}{S}

   value 0.01

   f''(S) = -\dfrac{1}{S^2}

   value -0.0001

3. 3. The process coefficients at this level

   a = μS

   value 10

   b = σS

   value 30

4. 4. Itô's lemma

   df = (f'(X) a + ½ f''(X) b²) dt + f'(X) b dW

5. 5. Substitution

   df = (0.01 · 10 + ½ · -0.0001 · 30²) dt + 0.01 · 30 dW

   What ordinary calculus would give

   0.1

   Itô correction

   -0.04582% correction as a share of the drift

   The left term is all the chain rule would produce. The middle one would not exist in ordinary calculus, where (dX)² is of order dt² and gets discarded. Here it is of order dt, so it stays.

6. 6. Result

   df = (μ − σ²/2) dt + σ dW
   df = 0.055 dt + 0.3 dW

   Drift of the result (coefficient of dt)

   0.055

   Random part (coefficient of dW)

   0.3

Posúvajte hodnotu $S$ a sledujte šiesty krok. Výsledok sa nehýbe. Drift aj náhodná zložka logaritmu ceny sú od úrovne ceny nezávislé, hoci obe zložky pôvodného procesu na nej záviseli.

To nie je kozmetika. Práve táto nezávislosť je dôvod, prečo sa rovnica dá integrovať a prečo je cena lognormálna. Keby drift logaritmu od $S$ závisel, nemali by sme uzavretý vzorec a Black-Scholes by neexistoval.

Časté nedorozumenia

Prečo je v leme druhá derivácia?

Lebo v Taylorovom rozvoji je, a nedá sa zahodiť. Druhá derivácia meria zakrivenie funkcie. Ak je funkcia zakrivená a jej argument sa trasie, potom aj keď je trasenie symetrické, výsledok symetrický nie je: pohyby jedným smerom pridajú viac, než pohyby druhým smerom uberú (alebo naopak, pri opačnom zakrivení).

Bežný kalkulus tento efekt zanedbáva oprávnene, lebo pri hladkom argumente je trasenie príliš malé. Pri Brownovom pohybe malé nie je.

Prečo $(dW)^2$ nezmizne?

Lebo $\Delta W$ je rádu $\sqrt{\Delta t}$, nie $\Delta t$. Štvorec čísla rádu $\sqrt{\Delta t}$ je rádu $\Delta t$, čo je presne rád členov, ktoré si v rozvoji necháme.

Toto sa dá overiť meraním, a nástroj vyššie to robí: kvadratická variácia Brownovho pohybu sa pri jemnení nezmenšuje.

Je $dW$ obyčajné číslo?

Nie. $dW$ nie je číslo ani premenná, s ktorou by sa dalo počítať bežnými pravidlami. Je to zápis pre prírastok procesu na nekonečne krátkom intervale a všetky operácie s ním sú v skutočnosti operácie s integrálmi, ktoré z neho vzniknú.

Praktický dôsledok: nedeľte rovnicu $dW$-čkom a nerobte z $dW/dt$ deriváciu. Tá derivácia neexistuje, ako sme videli v siedmej kapitole.

Znamená $(dW)^2 = dt$ klasickú algebraickú rovnosť?

Nie. Je to zápis vlastnosti kvadratickej variácie, teda tvrdenie o limite súčtu $\sum(\Delta W_i)^2$. Znak rovnosti je tu skratka, nie výrok o dvoch číslach.

Zapamätateľná verzia: $(dW)^2 = dt$ je vetou o tom, čo prežije integrovanie, nie o tom, čo sa čomu rovná.

Cvičenia

Exercise

Quick check: použitie Itôových pravidiel

Zjednodušte výraz $(2\,dt + 3\,dW)^2$ podľa Itôových pravidiel.

Aký je koeficient pri $dt$ vo výsledku?

Koeficient pri dt

Check

Exercise

Quick check: veľkosť korekcie

Pre $f(W) = W^2$ je $f'' = 2$. Proces je samotný Brownov pohyb, teda $\sigma = 1$.

Aká je Itôova korekcia, teda člen $\tfrac{1}{2}\sigma^2 f''$?

Itôova korekcia

Check

Exercise

Quick check: kvadratická variácia

Brownov pohyb sledujeme tri roky a interval delíme na desaťtisíc dielikov.

Na akej hodnote sa ustáli súčet štvorcov prírastkov? A na akej by sa ustálil, keby sme použili milión dielikov?

Pri 10 000 dielikoch

Pri milióne dielikov

Check

Exercise

Tretia mocnina Brownovho pohybu

Použite Itôovu lemu na $f(W) = W^3$, teda na proces s $\mu = 0$ a $\sigma = 1$.

Aké sú koeficienty pri $dt$ a pri $dW$, keď je proces práve v bode $W = 2$?

Koeficient pri dt

Koeficient pri dW

Check

Exercise

Drift logaritmu ceny

Akcia má očakávaný výnos 10 % ročne a volatilitu 30 %.

Aký drift má logaritmus jej ceny, a o koľko je nižší než samotný očakávaný výnos?

Drift log-ceny

Itôova korekcia (rozdiel)

Check

Exercise

Keď je korekcia väčšia než výnos

Veľmi kolísavá akcia má očakávaný výnos 6 % ročne a volatilitu 40 %.

Aký drift má logaritmus jej ceny?

Drift log-ceny

Check

Exercise

Itôova lema na druhej mocnine

Použite Itôovu lemu na funkciu $f = S^2$ pri $\mu = 8\ \%$, $\sigma = 20\ \%$ a aktuálnej cene $S = 50$ €.

Aký je koeficient pri $dt$?

Koeficient pri dt

Check

Exercise

Challenge: priemer verzus medián

Akcia stojí 100 €, má očakávaný výnos 10 % ročne a volatilitu 30 %. Horizont sú dva roky.

Z riešenia rovnice vieme, že $S_T = S_0\exp\!\left[(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2})T + \sigma W_T\right]$, pričom $W_T$ má strednú hodnotu nula.

Spočítajte mediánovú a strednú cenu o dva roky. Ktorá je väčšia a prečo?

Mediánová cena

€

Stredná cena

€

Check

Čo si zapamätať

1. Bežný kalkulus zlyháva preto, že $\Delta W$ je rádu $\sqrt{\Delta t}$. Štvorec takého prírastku je rádu $\Delta t$, teda rovnako veľký ako členy, ktoré si necháme.
2. Kvadratická variácia Brownovho pohybu na $[0,T]$ je $T$, a to pre takmer každú jednotlivú trajektóriu, nielen v priemere.
3. $(dt)^2 = 0$, $dt\,dW = 0$, $(dW)^2 = dt$. Jedna úvaha, nie tri pravidlá: počítaj mocninu $dt$, pričom $dW$ sa počíta ako $dt^{1/2}$, a zahoď všetko vyššieho rádu.
4. $(dW)^2 = dt$ nie je algebraická rovnosť, ale zápis vlastnosti kvadratickej variácie.
5. Itôova lema je Taylorov rozvoj, v ktorom sa druhý rád odmietol zahodiť. Vzorec sa z tej vety dá kedykoľvek odvodiť.
6. Korekcia $\tfrac{1}{2}\sigma^2 f''$ pôsobí len na drift, nie na náhodnú zložku, a mizne pri $\sigma = 0$ aj pri lineárnej funkcii.
7. $d(\ln S) = (\mu - \tfrac{\sigma^2}{2})dt + \sigma\,dW$ je najdôležitejší jednotlivý výsledok tejto časti: pravá strana nezávisí od $S$, takže rovnicu možno integrovať a dostať $S_T = S_0e^{(\mu - \sigma^2/2)T + \sigma W_T}$.
8. Priemer a medián ceny nie sú to isté číslo. Rozdiel je Itôova korekcia a rastie s druhou mocninou volatility.