Strom, vzorec a Monte Carlo

Problém

Štrnásta kapitola ukázala kontrakty, ktoré uzavretý vzorec neocení: americkú opciu, bariérovú, ázijskú, lookback.

Nie je to zoznam kuriozít. Je to väčšina toho, čo sa na trhu obchoduje. Black–Scholesov vzorec platí pre jeden konkrétny kontrakt, a hoci je ten kontrakt najdôležitejší, sám o sebe nestačí.

Potrebujeme teda metódy, ktoré fungujú aj tam, kde vzorec nie. Máme tri a v kurze sme ich už všetky použili:

Táto kapitola ich postaví vedľa seba a povie, ktorú kedy použiť.

Metóda 1: uzavretý vzorec

$$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$$

Výhody. Okamžitý (jedno vyhodnotenie funkcie), presný na strojovú presnosť, a dá sa derivovať. Práve preto máme gréky v uzavretom tvare a nemusíme ich odhadovať numericky.

Nevýhody. Existuje len pre špecifické kontrakty za špecifických predpokladov: európska výplata, konštantná volatilita, žiadne dividendy, žiadne skoky.

Rozšírenia existujú (dividendy, meny, futures), ale každé z nich je nový vzorec pre nový prípad. Nová výplata znamená nové odvodenie, a väčšinou žiadne nevyjde.

Metóda 2: binomický strom

Čas sa rozdelí na $n$ krokov, v každom sa cena vynásobí $u$ alebo $d$, a hodnota sa spätnou indukciou zroluje k dnešku.

Výhody.

Je názorný: každý uzol je konkrétna cena a konkrétna hodnota, a dá sa na ne pozrieť.

Zvládne skoré uplatnenie jedným max navyše v uzle. To je jeho hlavná praktická prednosť a dôvod, prečo prežil.

Chyba klesá ako $1/n$, čo je slušné: štvornásobok krokov znamená štvrtinovú chybu.

Nevýhody.

Chyba osciluje. Nie je to hladké približovanie: podľa toho, kam medzi uzly padne realizačná cena, strom raz prestrelí a raz podstrelí. Presne to bolo vidieť už v tabuľke z piatej kapitoly.

Rozbije sa pri závislosti od cesty, ako ukázala štrnásta kapitola.

A počet uzlov rastie ako $n^2/2$, takže veľmi jemný strom je pomalý.

Metóda 3: Monte Carlo

Nasimulujeme veľa možných budúcností, na každej spočítame výplatu, spriemerujeme a diskontujeme.

$$V_0 \approx e^{-rT}\,\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\text{výplata}_i$$

Nie je to trik ani aproximácia zvonku: je to priama definícia ceny z desiatej kapitoly. Tam bola cena diskontovanou strednou hodnotou pod mierou $\mathbb{Q}$, a stredná hodnota sa dá odhadnúť priemerom vzorky.

Postup krok za krokom

Krok 1: vygeneruj náhodné číslo.

$$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$$

Krok 2: preveď ho na koncovú cenu. Vzorcom z desiatej kapitoly, a to pod mierou $\mathbb{Q}$, teda s driftom $r$:

$$S_T = S_0\exp\!\left[\left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\,Z\right]$$

Krok 3: spočítaj výplatu.

$$\text{výplata} = \max(S_T - K,\, 0)$$

Krok 4: opakuj $N$ krát a spriemeruj.

Krok 5: diskontuj vynásobením $e^{-rT}$.

Zákon veľkých čísel a jeho cena

Presnosť rastie s počtom simulácií, ale pomaly.

Chyba Monte Carla

Štandardná chyba odhadu klesá ako

$$\text{chyba} \propto \frac{1}{\sqrt{N}}$$

Na polovičnú chybu treba štvornásobok simulácií. Na desatinovú treba stonásobok.

Konkrétne, pre našu opciu (100 €, realizačná cena 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, rok, presná cena 14,2313 €):

Tisícnásobok práce znížil chybu tridsaťkrát, presne ako $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$.

Za pozornosť stojí prvý riadok: pri stovke simulácií je interval taký široký, že by sa doň zmestila aj polovičná aj dvojnásobná cena. Odhad bez intervalu spoľahlivosti je pri Monte Carle nepoužiteľný údaj.

Interaktívne: celá simulácia naraz

Option type

Call

Put

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Risk-free rate r

05.0%0.15

Number of simulations N

100500050000

New simulation

Result

Monte Carlo price

€14.34

Black–Scholes price

€14.23

Standard error

€0.32

95 % interval

€13.72 – €14.97

Difference from the formula

€0.11

Share of paths in the money

50.4%

A few simulated paths

Twelve paths are drawn, but the estimate uses all N. A European payoff needs only the terminal price, so whole paths are never built for the calculation.

Where the paths ended

Where the paths ended

od	do	podiel
€33.82	€39.83	0.2
€63.87	€69.88	4.7
€93.92	€99.93	8.4
€123.96	€129.97	4.3
€154.01	€160.02	1.8
€184.06	€190.07	0.4
€214.10	€220.11	0.2
€244.15	€250.16	0.0

What those paths paid

What those paths paid

od	do	podiel
€0.00	€4.35	55.6
€21.77	€26.13	3.5
€43.55	€47.90	2.0
€65.32	€69.68	1.0
€87.10	€91.45	0.4
€108.87	€113.23	0.2
€130.65	€135.00	0.1
€152.42	€156.78	0.0

The left histogram is chapter 10's lognormal distribution, generated rather than derived. The right one is its kinked image: everything below the strike collapsed into a single bar at zero, and that asymmetry is what makes an option an option.

How the estimate settles

• Estimate
• 95 % interval
• Closed form

What to look for

Raise the number of simulations and watch the interval's width. Halving the error takes four times the simulations; dividing it by ten takes a hundred times. That is why Monte Carlo is not used where a formula or a tree will do.

Čo vyskúšať:

1. Sledujte spodný graf. Odhad sa potáca a postupne sa usadzuje. Pás okolo neho je 95 % interval a zužuje sa ako $1/\sqrt{N}$, teda čoraz pomalšie.
2. Porovnajte oba histogramy. Ľavý je lognormálne rozdelenie z desiatej kapitoly, tentoraz vygenerované namiesto odvodené. Pravý je jeho zalomený obraz: všetko pod realizačnou cenou spadlo do jedného stĺpca na nule.
3. Nastavte 100 simulácií a stlačte tlačidlo niekoľkokrát. Odhad skáče o eurá. Potom nastavte 50 000 a urobte to isté: skáče o centy.
4. Posuňte realizačnú cenu vysoko nad aktuálnu. Podiel dráh v peniazoch klesne pod pár percent a odhad sa stane veľmi nepresným, lebo drvivá väčšina simulácií neprispieva ničím.

Ten posledný bod je dôležitý: Monte Carlo je najhoršie práve tam, kde je udalosť vzácna. Na oceňovanie opcií hlboko mimo peňazí sa v surovej podobe nehodí a používajú sa techniky redukcie rozptylu.

Porovnanie metód

Dve poznámky k tabuľke:

„Áno, ťažko" pri skorom uplatnení a Monte Carle znamená konkrétnu vec. Simulácia ide dopredu v čase, ale rozhodnutie o uplatnení vyžaduje vedieť, koľko je hodné pokračovanie, čo je informácia z budúcnosti. Rieši sa to regresiou (Longstaff-Schwartzova metóda) a je to podstatne komplikovanejšie než jedno max v strome.

Chybová hranica je jediná vec, ktorú Monte Carlo dáva a ostatné dve nie. Simulácia so sebou nesie štatistický odhad vlastnej nepresnosti. Strom vám nepovie, ako ďaleko od pravdy je; treba to zistiť porovnaním viacerých jemností.

Interaktívne: tri metódy na jednej opcii

Option type

Call

Put

Share price S₀

40€100.00180

Strike price K

40€100.00180

Volatility σ

0.0530.0%0.8

Time to expiry T

0.251 yrs3

Risk-free rate r

05.0%0.15

Tree steps

2100500

Monte Carlo simulations

1001000050000

The same option, three methods

Method	Price	Difference from the formula	Note
Closed form	€14.23	–	The reference. Exact within the model, but only for a European payoff.
Binomial tree	€14.20	-0.0294	Error falls as 1/n and alternates in sign. Handles early exercise too.
Monte Carlo	€13.88	-0.349	Error falls as 1/√N. Handles anything, path dependence included.

How the two numerical methods approach the formula

• Tree
• Monte Carlo

The horizontal axis is logarithmic and means something different for each method: steps for the tree, paths for the simulation. So the two cannot be compared column by column, only by slope, and the tree's is steeper.

How to read it

Both curves head for zero, but differently. The tree approaches smoothly and its error changes sign depending on where the strike falls between nodes. Monte Carlo staggers, because its error is itself random; it falls only on average and looks different at every seed.

Všetky tri oceňujú tú istú opciu tými istými parametrami. Zhodujú sa, v rámci svojich chýb.

Zaujímavejší je graf pod tabuľkou. Obe numerické metódy sú na ňom vynesené proti vlastnej práci, s presnou hodnotou ako nulovou hladinou.

Strom klesá hladko a strieda znamienko. Odchýlka je pri piatich krokoch +0,56 €, pri dvadsiatich piatich +0,11 €, pri stovke −0,03 €. Znamienko sa mení podľa toho, kam medzi uzly padne realizačná cena.

Monte Carlo sa potáca. Jeho chyba je sama náhodná: klesá len v priemere a pri každom novom seede vyzerá inak. Skúste v predchádzajúcom nástroji stlačiť tlačidlo a graf bude iný.

Časté nedorozumenia

Monte Carlo nie je presnejšie než strom.

Je len použiteľné na širšiu triedu problémov. Pri európskej opcii je strom rýchlejší aj presnejší.

Výsledok simulácie je odhad, nie hodnota.

Bez intervalu spoľahlivosti je to číslo, ktorého poslednými dvoma číslicami sa nedá argumentovať.

Viac simulácií nerobí model správnejším.

Znižuje numerickú chybu, teda vzdialenosť od hodnoty, ktorú model dáva. Nič nerobí s modelovou chybou, teda so vzdialenosťou tej hodnoty od reality. Milión simulácií nesprávneho modelu dá veľmi presnú nesprávnu odpoveď.

Jemnejší strom nie je vždy bližšie.

Chyba osciluje, takže strom so 101 krokmi môže byť bližšie než so 102. Preto sa v praxi priemerujú dva susedné počty krokov.

Simulácia sa nerobí pod skutočnou mierou.

Drift v generátore je $r$, nie $\mu$. Chyba v tomto mieste dá číslo, ktoré vyzerá rozumne a je zlé.

Cvičenia

Exercise

Quick check: ktorá metóda

Potrebujete oceniť ázijskú opciu na priemernú cenu ropy za rok, s možnosťou uplatnenia len na konci.

Ktorá metóda je jediná použiteľná? Zadajte 1 pre vzorec, 2 pre strom, 3 pre Monte Carlo.

Metóda

Check

Exercise

Quick check: čo znamená interval

Simulácia s 10 000 dráhami dala odhad 14,06 € so štandardnou chybou 0,22 €.

Aká je horná hranica 95 % intervalu spoľahlivosti?

Horná hranica

€

Check

Exercise

Quick check: prečo r a nie μ

Pri Monte Carlo simulácii ocenenia opcie dosadíte do generátora koncových cien drift.

Ktorý? Zadajte 1 pre očakávaný výnos akcie μ, 2 pre bezrizikovú sadzbu r.

Drift

Check

Exercise

Jedna simulovaná cesta

Akcia stojí 100 €, volatilita 30 %, sadzba 5 %, horizont rok. Generátor vytiahol $Z = 1$.

Aká koncová cena z toho vyjde a akú výplatu má kúpna opcia s realizačnou cenou 100 €?

Koncová cena S_T

€

Výplata opcie

€

Check

Exercise

Koľko simulácií treba

Simulácia so 40 000 cestami dáva chybu približne 0,08 €.

Koľko ciest treba na chybu 0,02 €?

Počet ciest

Check

Exercise

Ako sa zlepšuje strom

Binomický strom oceňuje tú istú opciu (presná cena 14,2313 €) s rôznym počtom krokov:

Krokov	Cena stromu
5	14,7893 €
25	14,3415 €
100	14,2018 €

Spočítajte odchýlku pri 5 a pri 100 krokoch. Klesla dvadsaťnásobne, ako by hovorilo pravidlo $1/n$?

Odchýlka pri 5 krokoch

€

Odchýlka pri 100 krokoch

€

Check

Exercise

Porovnanie práce

Chcete znížiť chybu ocenenia na desatinu.

O koľkonásobok treba zvýšiť počet krokov stromu a o koľkonásobok počet simulácií Monte Carla?

Násobok krokov stromu

Násobok simulácií

Check

Exercise

Challenge: kedy sa Monte Carlo pokazí

Simulácia oceňuje kúpnu opciu hlboko mimo peňazí. Z 10 000 dráh skončí v peniazoch len 120.

Aký podiel dráh prispel k odhadu? A koľko simulácií by bolo treba, aby v peniazoch skončilo aspoň 10 000 dráh, teda toľko, koľko ich pri opcii na peniazoch prispieva takmer polovica?

Podiel prispievajúcich v %

%

Potrebných simulácií

Check

Čo si zapamätať

1. Tri metódy, tri rôzne kompromisy. Vzorec je najrýchlejší, strom najnázornejší, simulácia najvšeobecnejšia.
2. Vzorec je okamžitý a presný, ale existuje len pre špecifické kontrakty a špecifické predpoklady.
3. Strom má chybu $\sim 1/n$, ktorá osciluje, zvládne skoré uplatnenie a rozbije sa pri závislosti od cesty.
4. Monte Carlo má chybu $\sim 1/\sqrt{N}$, čo je pomaly, ale nezávisí od zložitosti výplaty ani od počtu podkladov.
5. V generátore musí byť $r$, nie $\mu$. Cena je stredná hodnota pod $\mathbb{Q}$.
6. Monte Carlo ako jediné dáva vlastnú chybovú hranicu. Odhad bez intervalu spoľahlivosti je neúplný údaj.
7. Viac simulácií znižuje numerickú chybu, nie modelovú. Presná odpoveď zlého modelu je stále zlá.
8. Pravidlo: európska opcia → vzorec; skoré uplatnenie → strom; závislosť od cesty alebo viac podkladov → simulácia.
9. Simulácia je najhoršia tam, kde je udalosť vzácna, lebo väčšina dráh neprispeje ničím. Vtedy nastupujú techniky redukcie rozptylu.