Zmena miery: cena rizika a Girsanov

Problém

Po ôsmej kapitole vieme cenu akcie napísať aj vyriešiť:

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{P}}$$

A hneď narazíme na prekážku. Ten parameter $\mu$, očakávaný výnos akcie, nikto nepozná. Nedá sa spoľahlivo odhadnúť z histórie, nedá sa vyčítať z trhu a dvaja rozumní analytici sa na ňom nezhodnú. Keby cena opcie od $\mu$ závisela, nemala by jednu hodnotu, ale toľko hodnôt, koľko je názorov.

Štvrtá kapitola už raz ten istý problém vyriešila. V binomickom modeli sme mali skutočnú pravdepodobnosť rastu $p$, ktorú nikto nepozná, a nahradili sme ju váhou

$$q = \frac{(1+r) - d}{u - d}$$

ktorá závisí len od pozorovateľných veličín. Cena potom vyšla rovnaká pre optimistu aj pesimistu.

Táto kapitola urobí presne to isté v spojitom čase. Nájdeme spôsob, ako $\mu$ z rovnice odstrániť a nahradiť ho bezrizikovou sadzbou $r$, bez toho, aby sa čokoľvek pokazilo.

Fyzická miera P

Fyzická miera P

Miera $\mathbb{P}$ opisuje skutočnú dynamiku trhu: aké sú naozajstné pravdepodobnosti jednotlivých scenárov, tak ako by ich zmeral niekto, kto by mohol svet spustiť tisíckrát.

Pod ňou platí

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{P}}$$

kde $W^{\mathbb{P}}$ je Brownov pohyb pod mierou $\mathbb{P}$.

$\mu$ tu môže byť čokoľvek. Väčšie než $r$, ak trh za riziko akcie platí prémiu, čo je bežný prípad. Menšie než $r$, ak investori za držanie aktíva radi zaplatia z iných dôvodov. Aj záporné.

Toto je miera, v ktorej žijeme. Ceny, ktoré uvidíme na obrazovke o rok, budú vygenerované ňou.

Riziko-neutrálna miera Q

Riziko-neutrálna miera Q

Miera $\mathbb{Q}$ je tá, pod ktorou je diskontovaná cena akcie martingálom:

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[e^{-rT}S_T \mid \mathcal{F}_0\right] = S_0$$

Ekvivalentne, pod ňou má akcia dynamiku

$$dS_t = rS_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}$$

Toto je presne tá istá definícia, akú mala $\mathbb{Q}$ v šiestej kapitole, len s $e^{rt}$ namiesto $(1+r)^t$.

Porovnajte obe rovnice vedľa seba a všimnite si, čo sa zmenilo a čo nie:

Drift sa zmenil, volatilita nie. To nie je náhodná vlastnosť tejto konštrukcie, ale jej podstata, a v deviatej až pätnástej kapitole z toho vyplýva takmer všetko praktické: volatilita je jediný parameter modelu, ktorý treba odhadovať, a preto sa celý trh s opciami točí okolo nej.

Trhová cena rizika

Aby sme mohli prejsť z jednej miery do druhej, potrebujeme vedieť, o koľko presne sa má drift posunúť. To číslo má meno.

Trhová cena rizika

$$\lambda = \frac{\mu - r}{\sigma}$$

Prečítajme ju po častiach:

$\mu - r$ je prebytočný výnos (excess return). O koľko viac než bezrizikové aktívum akcia v priemere zarobí. Toto je odmena za to, že investor znáša riziko.

$\sigma$ je miera toho rizika. Koľko neistoty musí investor zniesť.

$\lambda$ je teda odmena na jednotku rizika. Koľko prebytočného výnosu trh platí za každú jednotku volatility, ktorú je niekto ochotný na seba vziať.

Je to tá istá veličina, ktorú investori poznajú ako Sharpov pomer aktíva.

Čo zmena miery robí a čo nerobí

Toto je miesto, kde sa najviac ľudí stratí, takže to povedzme veľmi jasne.

Nezmenili sme svet. Množina možných budúcich ciest je pod $\mathbb{P}$ aj pod $\mathbb{Q}$ tá istá. Nič, čo bolo možné, sa nestalo nemožným, a nič nemožné sa nestalo možným. Tomu sa hovorí, že miery sú ekvivalentné.

Zmenili sme váhy. Tie isté scenáre dostali iné pravdepodobnosti. Scenáre, v ktorých akcia rastie, dostali pod $\mathbb{Q}$ menšiu váhu, než akú majú v skutočnosti, presne o toľko, aby priemerný rast vyšiel $r$ namiesto $\mu$.

Nezmenili sme ceny. Cena opcie vypočítaná pod $\mathbb{Q}$ je skutočná cena, za ktorú sa dá obchodovať, a zaistenie, ktoré z modelu vypadne, funguje v reálnom svete. Práve preto je celá konštrukcia užitočná a nie iba účtovný trik.

Girsanovova veta

Zostáva technický krok: ako presne sa jedna miera premení na druhú.

Odpoveďou je Girsanovova veta. Jej plná verzia je náročná a potrebuje aparát teórie miery. Jej obsah pre naše účely sa zmestí do jednej rovnice.

Girsanovova veta (v tvare, ktorý potrebujeme)

Nech $W^{\mathbb{P}}$ je Brownov pohyb pod $\mathbb{P}$ a $\lambda$ je konštanta. Potom existuje miera $\mathbb{Q}$, ekvivalentná s $\mathbb{P}$, pod ktorou je proces

$$W_t^{\mathbb{Q}} = W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t$$

opäť Brownovým pohybom.

Prečítajme, čo to hovorí. Zoberieme Brownov pohyb a pripočítame k nemu drift $\lambda t$. Výsledok už zjavne nie je Brownov pohyb pod pôvodnou mierou, lebo Brownov pohyb má nulovú strednú hodnotu, kým tento má $\lambda t$.

Girsanov hovorí: existuje iná miera, pod ktorou ten výsledok Brownovým pohybom je. Zmenou váh scenárov sa dá drift „vstrebať" do miery.

Prechod z P do Q, krok za krokom

Teraz to poskladajme. Ide o päť krokov a ani jeden sa nepreskočí.

Krok 1: začíname pod fyzickou mierou.

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{P}}$$

Krok 2: vyjadríme $dW^{\mathbb{P}}$ cez $dW^{\mathbb{Q}}$.

Z Girsanovovej vety máme $W^{\mathbb{Q}}_t = W^{\mathbb{P}}_t + \lambda t$, teda po zdiferencovaní $dW^{\mathbb{Q}} = dW^{\mathbb{P}} + \lambda\,dt$, a odtiaľ

$$dW_t^{\mathbb{P}} = dW_t^{\mathbb{Q}} - \lambda\,dt$$

Krok 3: dosadíme.

$$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\left(dW_t^{\mathbb{Q}} - \lambda\,dt\right)$$

Krok 4: roznásobíme a pozbierame členy pri $dt$.

$$dS_t = \mu S_t\,dt - \sigma\lambda S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}$$ $$dS_t = \left(\mu - \sigma\lambda\right)S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}$$

Krok 5: dosadíme definíciu $\lambda$.

$$\sigma\lambda = \sigma \cdot \frac{\mu - r}{\sigma} = \mu - r$$

a teda

$$\mu - \sigma\lambda = \mu - (\mu - r) = r$$

Výsledok:

$$\boxed{\;dS_t = rS_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t^{\mathbb{Q}}\;}$$

$\mu$ zmizlo. Nie preto, že by sme ho zanedbali alebo aproximovali, ale preto, že sa presne vyrušilo. Trhová cena rizika je definovaná práve tak, aby to nastalo.

A všimnite si posledný raz, čo sa nezmenilo: koeficient pri $dW$ je stále $\sigma S_t$. Zmena miery pohla driftom a volatility sa nedotkla.

Interaktívne: obe miery vedľa seba

Nasledujúci nástroj generuje trajektórie pod oboma mierami z tých istých náhodných šokov. Vďaka tomu je všetko, čím sa dva zväzky líšia, práve tá zmena váh a nič iné.

Expected return μ

-0.112.00%0.4

Risk-free rate r

03.00%0.15

Volatility σ

0.0524.00%0.6

New shocks

Market price of risk λ

0.375

Excess return μ − r

9.00%

Drift under P

€9.60

Drift under Q

€2.40

Volatility (both measures)

€19.20

At σ = 0 the market price of risk would be undefined: an asset with no risk must already earn exactly r, or there is an arbitrage.

The first pair of paths under both measures

Time	Under P	Under Q
0	€80.00	€80.00
0.6	€95.80	€90.76
1.2	€86.55	€77.69
1.8	€72.67	€61.80
2.4	€94.34	€76.01
3	€124.91	€95.35

• Under P (physical measure)
• Under Q (risk-neutral)
• Mean under P
• Mean under Q

E^P[S_T]

€114.67

E^Q[S_T]

€87.53

From P to Q, step by step

1. 1.dS = μS dt + σS dW^P
2. 2.λ = (μ − r)/σ = 0.375
3. 3.dW^P = dW^Q − λ dt
4. 4.dS = μS dt + σS (dW^Q − λ dt)
5. 5.dS = (μ − σλ) S dt + σS dW^Q
6. 6.μ − σλ = 0.12 − 0.24 · 0.375 = 0.03 = r
7. 7.dS = rS dt + σS dW^Q

Q is not a forecast

The lower bundle does not say the share will grow at the rate r. It says which weights the scenarios have to be priced with for the market to admit no arbitrage. The real world remains the upper bundle. Both sets of paths are built from the same random shocks, so everything that separates them is exactly that reweighting.

What to look for

Drag μ and watch the lower bundle. It does not move. The drift under Q is r however high the expected return is, and that is exactly why μ appears nowhere in the Black–Scholes formula. Then drag σ: both bundles move together, because a change of measure does not touch volatility.

Čo vyskúšať:

1. Posúvajte $\mu$ a sledujte spodný zväzok. Nehýbe sa. Očakávaný výnos môže byť 2 % alebo 40 %, dynamika pod $\mathbb{Q}$ ostáva tá istá. Toto je v jednom obrázku dôvod, prečo sa $\mu$ v Black-Scholesovom vzorci nikde nevyskytuje.
2. Posuňte $\sigma$. Teraz sa pohnú oba zväzky naraz a rovnako, lebo volatilitu zmena miery nemení.
3. Nastavte $\mu = r$. Zväzky splynú a $\lambda$ padne na nulu. Aktívum, ktoré nezarába viac než bezriziková sadzba, nepotrebuje žiadnu zmenu miery.
4. Nastavte $\mu$ pod $r$. $\lambda$ zosilnie do zápornej a zväzok pod $\mathbb{Q}$ sa dostane nad zväzok pod $\mathbb{P}$. Aj to je legitímne: zmena miery ide oboma smermi.

Diskrétny a spojitý model vedľa seba

Táto kapitola nezaviedla nový nápad. Zaviedla nový zápis pre nápad zo štvrtej kapitoly.

Riadok, ktorý stojí za pozornejšie prečítanie, je štvrtý. V diskrétnom modeli sa miera menila prepísaním pravdepodobností dvoch vetiev. V spojitom sa mení posunutím Brownovho pohybu. Vyzerá to ako dve rôzne operácie a je to tá istá: v oboch prípadoch prerozdeľujeme váhu medzi scenáre tak, aby priemerný výnos vyšiel bezrizikový.

Aj to, čo obe konštrukcie zaručujú, je rovnaké. Diskontovaná cena je martingál, a preto sa cena derivátu dá počítať ako diskontovaná stredná hodnota jeho výplaty.

Od stromu k Black-Scholesovi

Deviatou kapitolou je aparát hotový. Stojí za to sa obzrieť, lebo celý príbeh je jeden reťazec a každý článok bol nutný.

1. Bezarbitrážny princíp. Dve veci s rovnakou budúcnosťou musia mať rovnakú dnešnú cenu. Z toho vypadla forwardová cena, bez jedinej pravdepodobnosti.

2. Replikácia. Opciu vieme poskladať z akcie a pôžičky. Cena stavebnice je cena opcie.

3. Riziko-neutrálna pravdepodobnosť. Replikácia sa dá prepísať ako priemer s váhou $q$, ktorá nezávisí od ničieho názoru.

4. Viackrokový strom. Ten istý krok zopakovaný po vrstvách. Cena sa s pribúdajúcimi krokmi ustaľuje.

5. Martingály. Diskontovaná cena je martingál pod $\mathbb{Q}$, a reprezentačná veta zaručuje, že zaisťovacia stratégia vždy existuje. Cena existuje preto, že existuje stratégia.

6. Brownov pohyb. Limit stromu pri jemnení krokov. Škálovanie $\sqrt{\Delta t}$ je jediné, pri ktorom limit existuje.

7. Itôov kalkul. Trajektória nemá deriváciu, takže bežný Taylorov rozvoj neplatí. Itôova lema ho nahradí a umožní rovnicu ceny vyriešiť.

8. Zmena miery. Girsanov premení $\mu$ na $r$. Cena prestáva závisieť od očakávaného výnosu.

9. Black-Scholesov model. Zostáva spočítať jednu strednú hodnotu:

$$C_0 = e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\max(S_T - K,\,0)\right]$$

kde $S_T$ má pod $\mathbb{Q}$ dynamiku, ktorú sme práve odvodili. Ten integrál má riešenie a zmestí sa na jeden riadok.

To je Časť IV.

Cvičenia

Exercise

Quick check: keď akcia nezarába nič navyše

Akcia má očakávaný výnos 4 % ročne, volatilitu 22 % a bezriziková sadzba je tiež 4 %.

Aká je trhová cena rizika? A o koľko sa posunie drift pri prechode na $\mathbb{Q}$?

Trhová cena rizika λ

Posun driftu σλ

Check

Exercise

Quick check: čo zmena miery nemení

Akcia má pod $\mathbb{P}$ volatilitu 24 % a očakávaný výnos 12 %. Bezriziková sadzba je 3 %.

Aká je jej volatilita pod $\mathbb{Q}$ a akou sadzbou pod $\mathbb{Q}$ rastie?

Volatilita pod Q v %

%

Drift pod Q v %

%

Check

Exercise

Quick check: ktorý drift sa používa na oceňovanie

Analytik A si myslí, že akcia porastie o 15 % ročne. Analytik B si myslí, že o 4 %. Volatilita je zhodne 30 % a bezriziková sadzba 3 %.

Akou sadzbou rastie akcia v modeli, podľa ktorého obaja ocenia opciu?

Sadzba v %

%

Check

Exercise

Trhová cena rizika

Akcia má očakávaný výnos 12 % ročne, volatilita je 24 % a bezriziková sadzba 3 %.

Aká je trhová cena rizika?

Trhová cena rizika λ

Check

Exercise

Overte, že sa μ naozaj vyruší

Akcia má $\mu = 9\ \%$, $\sigma = 35\ \%$, bezriziková sadzba je $r = 2\ \%$.

Spočítajte $\lambda$, potom posun $\sigma\lambda$ a nakoniec drift pod $\mathbb{Q}$, teda $\mu - \sigma\lambda$.

λ

Posun σλ

Drift pod Q

Check

Exercise

Drift pod dvoma mierami

Tá istá akcia: $\mu = 12\ \%$, $\sigma = 24\ \%$, $r = 3\ \%$, aktuálna cena 80 €.

Aký je koeficient pri $dt$ v rovnici ceny pod reálnou mierou a aký pod riziko-neutrálnou?

Pod mierou P

€/rok

Pod mierou Q

€/rok

Check

Exercise

Martingál pod Q

Akcia stojí 50 €, bezriziková sadzba je 4 % a horizont sú tri roky.

Spočítajte $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_3]$ a potom diskontovanú strednú hodnotu $e^{-rT}\,\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_3]$.

E^Q[S₃]

€

Diskontovaná hodnota

€

Check

Exercise

Challenge: dvaja investori, jedna cena

Akcia stojí 100 €, volatilita je 20 % a bezriziková sadzba 5 %.

Optimista tvrdí, že očakávaný výnos je 15 %. Pesimista tvrdí, že 5 %.

Spočítajte $\lambda$ pre oboch, potom drift pod $\mathbb{Q}$ pre oboch, a nakoniec $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_1]$, ktoré použijú pri oceňovaní.

λ optimistu

λ pesimistu

Drift pod Q, obaja, v %

%

E^Q[S₁]

€

Check

Čo si zapamätať

1. $\mu$ nikto nepozná, a preto by cena opcie závislá od $\mu$ nebola jedno číslo, ale toľko čísel, koľko je názorov.
2. $\mathbb{P}$ je skutočný svet, $\mathbb{Q}$ je oceňovací nástroj. Obe miery pripúšťajú tie isté scenáre a líšia sa len ich váhami. To znamená slovo „ekvivalentná".
3. $\lambda = \dfrac{\mu - r}{\sigma}$ je odmena na jednotku rizika, čo je tá istá veličina ako Sharpov pomer.
4. Girsanov: $W^{\mathbb{Q}}_t = W^{\mathbb{P}}_t + \lambda t$ je Brownov pohyb pod $\mathbb{Q}$. Drift sa dá vstrebať do miery.
5. Dosadením vyjde $dS = rS\,dt + \sigma S\,dW^{\mathbb{Q}}$. $\mu$ sa vyrušilo presne, nie približne.
6. Zmena miery mení drift a nedotýka sa volatility. Preto je $\sigma$ jediný parameter modelu, ktorý treba odhadovať.
7. $\mathbb{Q}$ nie je predpoveď. Netvrdí, že akcia porastie sadzbou $r$; hovorí, akými váhami sa majú scenáre priemerovať, aby nevznikla arbitráž.
8. Je to tá istá vec ako $q$ zo štvrtej kapitoly, len zapísaná pre spojitý čas: tam sme prepísali dve pravdepodobnosti, tu posúvame Brownov pohyb.
9. Aparát je hotový. Zostáva spočítať $C_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\max(S_T - K, 0)]$, a to je Časť IV.