Implikovaná volatilita

Problém

Black–Scholesov vzorec má päť vstupov. Štyri sa dajú odčítať:

Volatilita nie je pozorovateľná. Nedá sa odčítať, lebo je to vlastnosť budúcnosti.

Dá sa odhadnúť z histórie, ale to je odhad minulosti, a dva rozumné odhady sa môžu líšiť o desať percentuálnych bodov podľa toho, aké dlhé okno sa vezme.

Cenu opcie však pozorovať vieme. Je na obrazovke.

Otočme teda otázku. Namiesto

$$\sigma \;\longrightarrow\; \text{cena}$$

robme

$$\text{trhová cena} \;\longrightarrow\; \sigma$$

Číslo, ktoré z toho vypadne, sa volá implikovaná volatilita, a je to najpoužívanejšia veličina na celom trhu s opciami.

Definícia

Implikovaná volatilita

Implikovaná volatilita $\sigma_{\text{IV}}$ je tá hodnota volatility, pri ktorej Black–Scholesov model dá presne aktuálnu trhovú cenu opcie:

$$\text{trhová cena} = \text{BlackScholes}(S_0, K, T, r, \sigma_{\text{IV}})$$

Nie je to teda predpoveď ani meranie. Je to prevod: cena vyjadrená v inej jednotke.

Prečo sa to musí riešiť numericky

Rovnicu vyššie treba vyriešiť pre $\sigma$. Skúsme to algebraicky.

$$C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2), \qquad d_{1,2} = \frac{\ln(S_0/K) + \left(r \pm \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

$\sigma$ sa vyskytuje vnútri kumulatívnej normálnej distribučnej funkcie, a to dvakrát, v čitateli aj v menovateli zlomku. Neexistuje úprava, ktorá by ho osamostatnila.

Nejde pritom o to, že by sa to nikomu nepodarilo. Je dokázané, že uzavretý vzorec v elementárnych funkciách neexistuje.

Riešime to teda numericky: dosadzujeme volatility a hľadáme tú, pri ktorej cena sadne.

Metóda 1: bisekcia

Najjednoduchšia metóda, akú si možno predstaviť.

Krok 1. Nájdi dve volatility: jednu, pri ktorej je modelová cena príliš nízka, a druhú, pri ktorej je príliš vysoká. Riešenie musí ležať medzi nimi.

Krok 2. Zober stred intervalu a spočítaj cenu.

Krok 3. Ak je cena príliš vysoká, stred sa stane novým horným koncom. Ak príliš nízka, novým dolným.

Krok 4. Opakuj, kým je interval dosť úzky.

Na našom príklade (akcia 100 €, realizačná cena 100 €, sadzba 5 %, rok, trhová cena 14,61 €) to vyzerá takto:

Bisekcia nemôže zlyhať. Ak riešenie leží v intervale, leží aj v jeho polovici. Nepotrebuje deriváciu ani dobrý štart.

Ale je pomalá. Každý krok zúži interval presne na polovicu, teda získa jeden bit. Na plnú presnosť treba zhruba päťdesiat krokov, bez ohľadu na to, aký dobrý bol prvý odhad.

Všimnite si aj štvrtý riadok: interval sa práve dostal na stotinu eura od odpovede a bisekcia napriek tomu pokračuje ďalších dvadsaťtri krokov. Nevie totiž, že je blízko.

Metóda 2: Newton-Raphson

Rýchlejšia myšlienka: namiesto slepého polenia sa riaď sklonom.

$$\sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{\text{BlackScholes}(\sigma_n) - \text{trhová cena}}{\text{BlackScholes}'(\sigma_n)}$$

Geometricky: v bode $\sigma_n$ priložíme k cenovej krivke dotyčnicu. Kde pretne úroveň trhovej ceny, tam je nasledujúci odhad. Keďže je krivka hladká a rastúca, dotyčnica ju veľmi rýchlo dobehne.

Ten istý príklad:

Tri kroky namiesto dvadsiatich siedmich.

Pozrite sa na stĺpec odchýlok. Z desatiny na milióntinu, potom na nulu. To je kvadratická konvergencia: počet správnych číslic sa pri každom kroku zhruba zdvojnásobí.

Rýchly odhad z vegy

Prvý krok Newtonovej metódy sa dá spraviť aj z hlavy, a obchodníci to bežne robia.

Ak model pri 30 % dáva 14,23 € a trh pýta 14,61 €, rozdiel je 0,38 €. Vega je 0,379 € na percentuálny bod, takže:

$$\Delta\sigma \approx \frac{0{,}38}{0{,}379} \approx 1 \text{ percentuálny bod}$$

Implikovaná volatilita je teda zhruba 31 %. A naozaj je: presná hodnota je 31,00 %.

Interaktívna kalkulačka

Option type

Call

Put

Market price of the option

€

Share price S₀

10€100.00200

Strike price K

10€100.00200

Time to expiry T

0.051 yrs3

Risk-free rate r

05.00%0.15

Method

Newton

Bisection

Implied volatility

31.00%

3 iterations

Check

Market price

€14.61

Model price at the solved σ

€14.61

Difference

0

The search, step by step

The individual steps of the numerical search

Step	σ tried	Model price	Error	Vega
1	31.62%	€14.85	0.23704707	0.379
2	31.00%	€14.61	0.00000156	0.379
3	31.00%	€14.61	0	0.379

Newton uses vega as its slope: each step is the error divided by vega. The number of correct digits roughly doubles per step, so three or four steps suffice. It can fail, though, when vega is near zero.

Why this is delicate

Vega at the solved σ: €0.38

Vega says how much the price moves per percentage point of volatility. When it is small, a large change in volatility barely moves the price, and conversely a small error in the price becomes a large error in the implied volatility. That is why implied volatility read off deep out-of-the-money options is unreliable.

Čo vyskúšať:

1. Prepnite metódu na bisekciu. Tá istá odpoveď, dvadsaťsedem krokov namiesto troch. Sledujte stĺpec s intervalom: polí sa presne na polovicu.
2. Sledujte stĺpec s vegou pri Newtonovi. Je to smernica, ktorou sa každý krok delí.
3. Zadajte cenu 200 €. Kalkulačka odmietne počítať a vysvetlí prečo: taká cena je nad hodnotou samotnej akcie a ponúkala by arbitráž.
4. Posuňte realizačnú cenu ďaleko od aktuálnej a sledujte vegu. Klesne, a s ňou klesá spoľahlivosť implikovanej volatility: malá chyba v cene sa premietne do veľkej chyby vo volatilite.

Volatility smile

Tu prichádza najdôležitejšia časť kapitoly.

Model má jednu volatilitu. Ak by opisoval svet, potom by všetky opcie na tú istú akciu s tou istou expiráciou museli mať rovnakú implikovanú volatilitu, nech je ich realizačná cena akákoľvek.

Nemajú.

Volatility smile a skew

Smile je tvar, pri ktorom je implikovaná volatilita najnižšia okolo peňazí a na oboch stranách rastie. Typický pre meny.

Skew (alebo smirk) je tvar, pri ktorom volatilita klesá s rastúcou realizačnou cenou: nízke realizačné ceny sú drahé, vysoké lacné. Typický pre akcie a akciové indexy.

View

Smile (one maturity)

Surface (all maturities)

Maturity

0.08

0.25

0.5

1

2

Share price S₀

50€100.00200

At-the-money volatility

0.0824.0%0.6

Slope (skew)

00.350.8

Curvature (smile)

00.62

Rise with maturity

-0.050.020.1

Implied volatility for each contract

K	Implied σ
70	46.1
78	38.4
85	33.3
93	28.9
100	26.0
108	23.7
115	22.3
123	21.3
130	20.9

Implied volatility for each contract

K	ln(K/S₀)	Market price	Implied σ
€70.00	-0.357	€4.39	46.1%
€78.00	-0.248	€4.75	38.4%
€85.00	-0.163	€5.52	33.3%
€93.00	-0.073	€7.10	28.9%
€100.00	0	€11.26	26.0%
€108.00	0.077	€7.04	23.7%
€115.00	0.14	€4.40	22.3%
€123.00	0.207	€2.44	21.3%
€130.00	0.262	€1.44	20.9%

How to read it

The dashed line is what Black–Scholes predicts: one volatility for every strike. Real quotes do not follow it. On equities the curve is usually highest on the left, meaning options that protect against a fall cost more than a lognormal model would charge.

Why the curve is not flat

Through its prices the market says what the model does not allow: large falls are more likely than a lognormal distribution claims, risk is not symmetric, and volatility itself moves. That does not destroy the model. It stops being a description of the world and becomes a converter between a price and one comparable number.

The quotes are illustrative: generated from a chosen shape, priced with the formula, and then inverted back. They show how a shape is read out of prices, not what shape a particular market has today.

Prerušovaná čiara je to, čo model predpovedá: jedna hodnota pre všetky realizačné ceny. Skutočné kótovanie ju nesleduje.

Posuvníkmi „sklon" a „zakrivenie" viete prepínať medzi oboma tvarmi: pri prevahe sklonu vznikne akciový skew, pri prevahe zakrivenia menový smile.

Prečo smile existuje

Model predpokladá dve veci, ktoré neplatia.

Konštantnú volatilitu. V realite sa mení, a mení sa systematicky: po prepade rastie, v pokojných obdobiach klesá. Opcia je pritom stávka na volatilitu za celé zostávajúce obdobie, takže jej cena musí zohľadňovať aj neistotu o tej volatilite samotnej.

Lognormálne rozdelenie. Skutočné výnosy majú ťažšie chvosty: veľmi veľké pohyby sú podstatne častejšie, než model pripúšťa. Krach z októbra 1987 bol podľa lognormálneho modelu udalosť, ktorá sa nemá stať ani raz za mnoho vekov vesmíru. Stal sa.

K tomu sa pridáva asymetria. Akciové trhy padajú rýchlejšie, než rastú, a účastníci sú ochotní za ochranu proti prepadu platiť prémiu. Preto je akciový skew skosený doľava a nie symetrický.

Volatility surface

Implikovaná volatilita nezávisí len od realizačnej ceny. Závisí aj od splatnosti.

Krátke opcie majú zvyčajne strmší smile než dlhé, lebo krátkodobo je riziko skoku relatívne dôležitejšie. A celková úroveň sa mení s tým, čo trh o danom období očakáva: pred oznámením výsledkov je vyššia než po ňom.

Dva rozmery dokopy tvoria plochu.

Volatility surface

Implikovaná volatilita ako funkcia dvoch premenných:

$$\sigma_{\text{IV}} = \sigma_{\text{IV}}(K, T)$$

Pre každú realizačnú cenu a každú splatnosť jedno číslo.

View

Smile (one maturity)

Surface (all maturities)

Share price S₀

50€100.00200

At-the-money volatility

0.0824.0%0.6

Slope (skew)

00.350.8

Curvature (smile)

00.62

Rise with maturity

-0.050.020.1

Implied volatility by strike and maturity

Implied volatility for each contract

T \ K	70	78	85	93	100	108	115	123	130
0.08	44.3%	36.6%	31.4%	27.0%	24.2%	21.8%	20.4%	19.5%	19.1%
0.25	44.6%	36.9%	31.8%	27.4%	24.5%	22.2%	20.8%	19.8%	19.4%
0.5	45.1%	37.4%	32.3%	27.9%	25.0%	22.7%	21.3%	20.3%	19.9%
1	46.1%	38.4%	33.3%	28.9%	26.0%	23.7%	22.3%	21.3%	20.9%
2	48.1%	40.4%	35.3%	30.9%	28.0%	25.7%	24.3%	23.3%	22.9%

How to read it

Each row is one maturity, each column one strike. A darker cell is a higher implied volatility. If the model held, the whole surface would be one shade.

Why the curve is not flat

Through its prices the market says what the model does not allow: large falls are more likely than a lognormal distribution claims, risk is not symmetric, and volatility itself moves. That does not destroy the model. It stops being a description of the world and becomes a converter between a price and one comparable number.

The quotes are illustrative: generated from a chosen shape, priced with the formula, and then inverted back. They show how a shape is read out of prices, not what shape a particular market has today.

Keby model platil, mala by celá plocha jeden odtieň. Nemá.

Ako sa s tým žije

Smile ukazuje, že predpoklad konštantnej volatility neplatí. Prečo teda model nikto nezahodil?

Lebo prestal byť použitý ako opis sveta a začal sa používať ako prevodník.

Pre každú realizačnú cenu a splatnosť sa dosadí jej vlastná implikovaná volatilita. Model tým stráca nárok tvrdiť niečo o rozdelení cien a ponecháva si jedinú úlohu: previesť cenu na porovnateľné číslo a späť.

Časté nedorozumenia

Implikovaná volatilita nie je predpoveď budúcej volatility.

Je to číslo, ktoré po dosadení do vzorca dá trhovú cenu. Obsahuje očakávanie o volatilite, ale aj rizikovú prémiu, aj efekt ťažkých chvostov, aj dopyt po ochrane. Empiricky býva implikovaná volatilita systematicky vyššia než tá, ktorá sa potom naozaj realizuje.

Vyššia implikovaná volatilita neznamená, že akcia stúpne alebo klesne.

Volatilita je miera rozptylu, nie smeru. Kúpna aj predajná opcia na tú istú akciu majú tú istú implikovanú volatilitu, presne ako to žiada put-call parita.

Smile nie je chyba merania.

Je to systematická vlastnosť, prítomná na trhoch stabilne desiatky rokov. Nezmizne pridaním dát.

Implikovaná volatilita z opcie hlboko mimo peňazí je nespoľahlivá.

Tam je vega malá, takže malá chyba v cene (napríklad rozpätie medzi nákupom a predajom) sa premietne do veľkej chyby vo volatilite. Práve preto sa smile konštruuje z likvidných kontraktov okolo peňazí.

Model, ktorý dá smile „správne", nie je automaticky lepší.

Modely s lokálnou volatilitou vedia ľubovoľnú dnešnú plochu zreprodukovať presne. To ale nehovorí nič o tom, či správne predpovedia, ako sa tá plocha zajtra pohne, a práve to rozhoduje o zaistení.

Cvičenia

Exercise

Quick check: ktorým smerom

Model pri volatilite 25 % dáva cenu opcie 9,80 €. Na trhu sa obchoduje za 8,50 €.

Je implikovaná volatilita vyššia alebo nižšia než 25 %?

Vyššia (1) alebo nižšia (2)

Check

Exercise

Quick check: koľko krokov

Bisekcia zúži interval pri každom kroku presne na polovicu. Začína v intervale od 0 % do 500 %.

Koľko krokov treba, aby bol interval užší než jeden percentuálny bod?

Počet krokov

Check

Exercise

Quick check: čo hovorí plochá krivka

Predstavte si, že by implikovaná volatilita bola pre všetky realizačné ceny a všetky splatnosti presne rovnaká.

Znamenalo by to, že Black–Scholesov model platí? Zadajte 1 pre áno, 2 pre nie.

Áno (1) alebo nie (2)

Check

Exercise

Odhad implikovanej volatility cez vegu

Model pri volatilite 30 % dáva cenu 14,23 €. Na trhu sa opcia obchoduje za 14,61 €. Vega je 0,38 € na percentuálny bod.

Odhadnite implikovanú volatilitu.

Rozdiel oproti modelu

€

Implikovaná volatilita

%

Check

Exercise

Krok Newtonovej metódy

Tá istá opcia, ale trhová cena je 12,00 €. Model pri 30 % dáva 14,23 € a vega je 0,379 € na percentuálny bod.

Spočítajte odchýlku a prvý Newtonov krok. Presná odpoveď je 24,11 %.

Odchýlka

€

Odhad po prvom kroku v %

%

Check

Exercise

Bezarbitrážne hranice

Akcia stojí 100 €, realizačná cena kúpnej opcie je 90 €, sadzba 5 %, rok do expirácie.

V akom rozsahu musí ležať trhová cena, aby mala implikovanú volatilitu? A má ju cena 8 €?

Dolná hranica

€

Horná hranica

€

Má cena 8 € IV? Áno (1), nie (2)

Check

Exercise

Čo hovorí smile

Na tej istej akcii majú opcie tieto implikované volatility: pri realizačnej cene 80 € je to 34 %, pri 100 € je to 30 % a pri 120 € je to 31 %.

O koľko percentuálnych bodov je opcia hlboko mimo peňazí na strane poklesu „drahšia" než opcia na peniazoch? A platí pre tieto dáta predpoklad Black–Scholesovho modelu?

Rozdiel 80 € oproti 100 €

p. b.

Check

Exercise

Challenge: koľko stojí skew

Akcia stojí 100 €, sadzba 2 %, rok do expirácie. Predajná opcia s realizačnou cenou 80 € má implikovanú volatilitu 34 %, kým opcia na peniazoch má 24 %.

Pri 34 % stojí tá predajná opcia 4,16 €. Pri 24 % by stála 1,72 €.

O koľko percent je drahšia, než by žiadal model s jednou volatilitou? A čo si za ten rozdiel kupujúci vlastne kupuje?

Rozdiel v cene

€

O koľko percent viac

%

Check

Čo si zapamätať

1. Volatilita nie je pozorovateľná, cena áno. Preto sa model používa naruby.
2. Implikovaná volatilita je tá σ, pri ktorej vzorec dá trhovú cenu. Je to prevod, nie predpoveď.
3. Uzavretý vzorec pre inverziu neexistuje, lebo σ je vnútri normálnej distribučnej funkcie.
4. Riešenie existuje a je jediné, lebo vega je kladná a cena je vo volatilite prísne rastúca.
5. Bisekcia nemôže zlyhať a je pomalá (jeden bit za krok). Newton je rýchly a môže zlyhať (kvadratická konvergencia, ale delí sa vegou).
6. V Newtonovej metóde je menovateľom vega, a nie je to náhoda: vega je práve tá derivácia.
7. Keby model platil, bola by krivka plochá. Nie je. To je najpriamejší dôkaz, že predpoklad konštantnej volatility neplatí.
8. Akcie majú skew, meny majú smile. Za skewom stojí dopyt po ochrane proti prepadu a ťažké chvosty rozdelenia.
9. Model sa preto používa ako prevodník, nie ako opis sveta. Opcie sa kótujú vo volatilite, nie v eurách.